密集编码怎样用一个光子传三种消息

先数清能分辨的消息

1996 年，Mattle 等人改变一个光子的偏振，在三种消息中任选一种发出去。接收方把到来的光子与手里已有的另一个光子放在一起测量，读出消息。关键在于：这一对光子预先已经纠缠。发送的还是一个光子，接收时可以辨认的消息却超过了单独一个偏振量子比特的两种选择。

演示采用三种可区分的消息类别。原来的光学安排能分别认出两种 Bell 态，另两种合在一类；增加分束装置后，又能探测第三类，只是效率较低。理想教学协议容许四种不同的 Bell 消息，实际能用上多少，取决于接收器怎样把它们认出来。

示例文字每个字符用五个三进制位；每位有三种取值，五位便有 243 种码字。展示的字符放得下，但八比特共有 256 种组合，这套定长码还装不下全部八比特值。

理想协议先共享一对“双水平”与“双竖直”的相干叠加态；相干指两种可能性之间保留着确定的相位关系。发送方可以不动、交换水平与竖直、反转相对相位，或者两件都做。这样得到四个正交的 Bell 态，“正交”在这里意味着理想的联合测量能把它们完全分开。

发送方接着必须把这个光子实际送到接收方。接收方手里已有另一个光子，把两个放在一起做联合测量。不管怎样编码，单看接收方原来那个光子，都是最大混合态。这里的通信优势把预先共享的纠缠与传过去的量子比特一起计入资源。

对理想的无误接收器，三种等概率消息每个接受符号携带以二为底三的对数，约 1.585 比特。四种完全可分、等概率的消息则是两比特。各字母用得不均匀，输入熵就会下降。

“互信息”衡量探测输出告诉了接收方多少关于消息的内容。下式中，M 是消息，D 是输出；同时带两个标签的概率表示两者一起出现，分别带一个标签的概率表示各自出现。对数以二为底，概率为零的项略去。计算要说明输入分布，因为发哪些消息、各发多少次，都会影响传到的信息。

我们自己构造一个对称的三字母信道：输出正确字母的概率是 0.90，两种错误字母各 0.05。输入均匀时，输出仍然均匀，但每次试验的互信息只有约 1.016 比特。只数字母个数，会高估送到的信息。

再假想一个信道：只要探测成功就完全正确，但不论发什么消息，都有二分之一的概率被擦除。把擦除也算作一种输出，每发一个符号约传 0.792 比特；只看被接受的符号，每个仍是 1.585 比特。两个数的分母不同。这两个信道是为说明分母差别而设的理想算例，均与 1996 年装置分开讨论。

I(M;D)=\sum_{m,d}p(m,d)\log_2\!\frac{p(m,d)}{p(m)p(d)}

原论文的字符图把每类探测结果各自除以自己的最大值，消息顺序一目了然，但峰高并不是相同效率下的计数。论文也说明了，为第三类附加的探测配置登记概率较低。

评价真实信道，要保留每次编码尝试、全部探测输出、擦除和采集时间。如果接受的概率随消息而变，连被接受符号的输入分布也会变。混淆矩阵和完整的资源清单，能回答三个干净的归一化峰回答不了的问题。

只靠纠缠，发不出指定的消息；编码后的光子送到接收方，再与另一个一起做联合读出，消息才读得出来。所说的优势，是在明确规定的通信资源下比较的。如果把制对、分发、稳定和探测用掉的光子全算进去，就是更大的一笔工程成本。

试验时钟如果已知，接收方就能认出哪次没有收到消息，这叫作“擦除”。各消息被擦除的机会如果不同，沉默本身也可能带来信息。评价信道时，因而要把完整的输出类别、实际消耗的资源和收到的符号放在一起看。上面算的是给定理想信道每次尝试所传的信息；历史传输率与信道容量需要各自另行测量或求解。