时频模式量子光学

先看四个同样亮的位置

只转动一个相位箭头，四个联合强度都不变，预告出的光子却能从一个确定波包变成混合。沿着这个小例子往下算，就能看清：要描述量子光，亮度还只讲了一部分。

四个相位一致

F_A=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}

P=1,\quad P_{\mathrm{coin}}(0)=0

反转一个相位

F_B=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}

P=\frac12,\quad P_{\mathrm{coin}}(0)=\frac14

格子亮度相同，表示联合强度相同；箭头方向表示复相位。符合概率假定两份独立且相同的预告输入，其他自由度完全匹配。原创两模式模型图。

前两章从点击和双光子振幅开始，第三至六章依次建立约化态、干涉、条件选择与层析。最后两章把理想测量接到转换通道和一份固定论文计算。每一步都先提出具体问题，再引入需要的工具。

共同教材基础 · 研究路线与实施证据

L1 · 1
两次点击怎样问出光子的相同与不同
从分束器两侧的符合点击理解光子重叠，区分单光子、纯态和不可辨识性，为时频模式建立直观图景。
L2 · 2
把一对光子的可能性写进复振幅
从泵浦、相位匹配和收集模式建立低增益双光子态，再把连续联合谱转成归一化的两模式系数矩阵。
L2 · 3
同一张强度图为什么藏着两种纯度
逐项求出约化密度矩阵，用二模式相位反例推导 Schmidt 权重和纯度，并解释非分辨预告怎样留下混合。
L3 · 4
混合光子的 HOM 凹陷有多深
从纯态重叠逐步推导混合态 HOM 符合概率，说明何时可见度等于纯度，以及损失、多对和延迟各自的作用。
L3 · 5
选择一段波包怎样远程准备另一光子
比较相干模式投影与不分辨频率的强度过滤，推导条件态和成功率，手算纯度提升所付出的事件损失。
L3 · 6
从点击记录重建相干，再预测一次新测量
用三个互补模式基的计数重建二模式密度矩阵，并将未参加拟合的相干投影留作预测检验，解释抽样误差。
L4 · 7
真实脉冲门怎样接近单模式投影
从和频转换核连接泵浦、相位匹配、Schmidt 通道和探测效应，解释有限带宽为什么会让理想投影出现模式串扰。
L4 · 8
复算一份高斯相干模型，再读前沿实验
固定 2026 年相干过滤预印本的高斯密度模型，用独立数值积分核对纯度公式，并区分模型复算、实验重建与开放问题。

沿途三个实验

新实验采用两个正交模式与合成点击记录。HOM 实验把内模式混合、独立高斯到达波包和偏振分别处理。最后一章另行对固定版本论文的连续高斯密度模型积分。

来源与计算范围

C. K. Hong, Z. Y. Ou and L. Mandel, Measurement of subpicosecond time intervals between two photons by interference, Physical Review Letters 59, 2044 (1987)
原始分束器符合实验。课程另行推导独立单光子输入的理想重叠概率；合成记录不属于这项历史实验。
P. J. Mosley et al., Heralded Generation of Ultrafast Single Photons in Pure Quantum States, arXiv:0711.1054v1; Physical Review Letters 100, 133601 (2008)
式一、图一至四及源与收集讨论连接泵浦、相位匹配、预告和独立源 HOM；图二由强度推断纯度时明确假定联合谱相位无变化。本站未复算晶体参数拟合或实验测点。
A. Eckstein, B. Brecht and C. Silberhorn, A Quantum Pulse Gate based on Spectrally Engineered Sum Frequency Generation, arXiv:1007.3215v2; Optics Express 19, 13770–13778 (2011)
式一至四、图二和预告应用定义泵浦乘相位匹配的转换核、Schmidt 通道与理想选模；本站有限双通道 Schmidt 核是无量纲教学化简，没有复现论文 PPLN 参数计算。
L. Serino et al., Programmable time-frequency mode-sorting of single photons with a multi-output quantum pulse gate, arXiv:2410.03606v1; DOI 10.1364/OE.544206
第二节和图二说明转换核及理想投影、非理想测量效应的区别；第三至四节讨论探测器层析与输出分辨率。该工作已有 Optics Express 期刊 DOI；这里固定核读 2024 年预印本版本。
A. Bhattacharjee et al., Coherent temporal filtering of multimode parametric down-conversion using a quantum pulse gate, arXiv:2608.12544v1 (12 August 2026 preprint)
核读正文式一至五、图一至四和补充材料第一至七节，以确定条件过滤与重建。有限复算选补充式十二至十三；式十五至十六只作解析代入。未复现图三实验点、论文层析算法或完整器件。
Sandbox Physics FR10 independent numerical benchmarks
原创归一化高斯谱密度直接积分与独立相位矩阵、特征值计算。reproduce-benchmarks.mjs 保存窗口、分辨率和误差；数据不含历史测量。
Sandbox Physics FR10 model and source definitions
定义两个正交模式、系数约定、理想预告、有限双通道 Schmidt 转换核、合成计数、保存记录和论文复算范围，明确教学模型采用的假设。