E53 · 电子成像 / 电子谱学

ARPES 能带与费米面测量

发射角如何揭示电子能带？ 每个光电子，量出动能和出射角，就能算出结合能和沿表面方向的动量。把计数按能量和角度排成一张图，占据态能带就直接显现出来。图上哪里亮、哪里暗，还和光子能量、温度以及跃迁矩阵元有关。

拖动金色晶体选择能量与动量切面，再保存不同方位的采集。费米能附近的强度逐渐拼成一张图，灰色留出尚未测到的区域。

已存切面 $0$

已采样动量格占比 $0\,\mathrm{\%}$

局部动量半高全宽 $0\,\mathrm{\mathring{A}^{-1}}$

偶极权重近似 $0$

更多测量与实验目标

光束相对法线的入射角 $0\,\mathrm{{}^\circ}$

费米能处电子动能 $0\,\mathrm{eV}$

中心平行动量 $0\,\mathrm{\mathring{A}^{-1}}$

假定垂直动量 $0\,\mathrm{\mathring{A}^{-1}}$

费米边热展宽 $0\,\mathrm{eV}$

Voigt 与边缘宽度近似 $0\,\mathrm{eV}$

已知能带费米穿越数 $0$

接收动量下界 $0\,\mathrm{\mathring{A}^{-1}}$

接收动量上界 $0\,\mathrm{\mathring{A}^{-1}}$

实验任务 $\text{—}$

预设为模拟示例；各图标题注明数据来源。

费米能窗半宽

\delta E_F

0.02\,\mathrm{eV}

光子能量

h\nu

21.2\,\mathrm{eV}

相对表面法线的发射角

\theta

0\,\mathrm{{}^\circ}

晶体方位

\varphi

0\,\mathrm{{}^\circ}

进阶设置

温度

T

100\,\mathrm{K}

线偏振方向

\psi

0\,\mathrm{{}^\circ}

能量半高全宽

\Delta E

30\,\mathrm{meV}

角半高全宽

\Delta\theta

0.3\,\mathrm{{}^\circ}

本征洛伦兹半高全宽

2\Gamma

30\,\mathrm{meV}

化学势

\mu

-1.1\,\mathrm{eV}

层间跃迁

t_z

0\,\mathrm{eV}

学习目标与模型边界

仪器设置

ARPES 能带与费米面测量

“新建扫描”清空费米图，“保存切面”加入当前探测图，“扫描 48 个方位”装入完整示例。目标是保存至少八个方位，当前切面包含费米穿越，动量半高全宽小于每埃 0.025、热展宽小于 0.03 eV、偶极权重大于 0.30。

模型假设

能带是方格子上合成的紧束缚能带，谱线用洛伦兹谱权重、费米占据和高斯仪器模糊计算。偏振效应用假定的偶极权重近似。垂直动量按自由电子终态计算，内势假定为 10 eV。样品和接地分析器的功函数都假定为 4.5 eV。动量图直接由已经展宽的角度探测数据重采样得到。费米图对保存的探测样本取能窗内加权平均，灰格表示没有采样；每个能量行按各自的动能换算。入场示例分别模拟 48 个方位，并让偏振随样品共转。手动保存保留当时偏振，不同切面可有不同亮度。强度使用任意单位，没有计数噪声，也未标定为动量面积密度。改变样品、光子能量或仪器响应会开始新扫描。加入层间跃迁后，图内垂直动量随位置变化。装置是教学示意：固定 20 eV 通带能量的轨道用来展示能量色散，透镜传递和角度传输都没有按电场求解。

先抓重点

核心问题: 发射角如何揭示电子能带？
一句话直觉: 同时测量能量和发射角，就能重建占据态的谱函数。能带变暗，可能是矩阵元把它压低了；温度升高会把费米边抹宽；换一个光子能量，能测到的动量范围也随之改变。

核心数学模型

方位角与费米能窗

\begin{aligned}k_x&=k_\parallel\cos\varphi,\\k_y&=k_\parallel\sin\varphi,\\-\delta E_F&\leq E-E_F\leq\delta E_F\end{aligned}

保存的每个能量行都使用各自动能。动量格显示能窗内采样强度的平均值，权重是每行与能窗的重叠长度。未采样的格保持灰色，缺少的方位不插值补齐。

能量与平行动量

\begin{aligned}E_B&=h\nu-\phi_a-E_{\mathrm{kin}},\\k_\parallel&=\frac{\sqrt{2m_eE_{\mathrm{kin}}}}{\hbar}\sin\theta\end{aligned}

模型假定样品和接地分析器的功函数都是 4.5 eV。发射角从样品表面法线量起；图像的每一行能量用各自的动能换算。光的入射角是另一个独立的几何量。

占据态谱权重

\begin{aligned}I&\propto [|M|^2Af(E,T)]\ast R,\\A&=\frac{\Gamma/\pi}{(E-\varepsilon_{\mathbf k})^2+\Gamma^2},\\R&=R_E\ast R_\theta\end{aligned}

仪器模糊只会抹宽占据态强度，不会移动能带本身。

合成能带与终态

\begin{aligned}\varepsilon_{\mathbf k}&=-2tC-\mu+2t_zD,\\C&=\cos(ak_x)+\cos(ak_y),\\D&=\cos(ck_z)\end{aligned}

跃迁能量为 0.45 eV，面内间距 3.8 埃，层间距 6 埃。垂直动量要依靠自由电子终态假设才能确定。

常见难点

能带为什么会变暗

容易误解看不到明亮能带，就说明那个动量没有电子态。

正确理解光电子强度取决于谱权重、占据、偶极矩阵元和分辨率。灰格表示没采到，深色格表示采到了但强度弱，两者都不能证明那里没有能带。保存切面时也会保留当时偏振，偏振变化会改变亮度。

动手实验

01
从切面拼出费米图
点“新建扫描”，再点“保存切面”。转动“晶体方位”后保存另一条切面；“扫描 48 个方位”可装入完整采集示例。调节“费米能窗半宽”，比较同一组已存图像。
你会看到： 单条狭缝切面留下大片灰格，增加方位才会扩大覆盖。只转动样品会更新当前探测图，保存后才改变费米图；改变样品或仪器条件会开始新扫描。
02
找到光束与电子
沿紫色光束找到受光点，再跟随光电子穿过透镜、绕过半球电极。倾转样品时，白色法线转动，透镜轴线保持固定。随后比较清晰切面与权重抑制。
你会看到： 同时测量能量和发射角，就能重建占据态的谱函数。能带变暗，可能是矩阵元把它压低了；温度升高会把费米边抹宽；换一个光子能量，能测到的动量范围也随之改变。
03
捕捉费米穿越
捕捉一个费米穿越：动量半高全宽小于每埃 0.025，费米边热展宽小于 0.03 eV，矩阵元权重大于 0.30。然后转动偏振，让能带变暗，但位置不动。
你会看到： 先看数值是否达标，再把仪器视图和数据图对照着看。
04
改变切面和光子能量
转动晶体方位改变切面，比较高温展宽与低温目标。加入层间跃迁，再改变光子能量，探索假定的垂直动量选择。
你会看到： 能带是方格子上合成的紧束缚能带，谱线用洛伦兹谱权重、费米占据和高斯仪器模糊计算。偏振效应用假定的偶极权重近似。垂直动量按自由电子终态计算，内势假定为 10 eV。狭缝分析器每次测一个切面，费米图汇总已保存的切面，未采样处留灰。加入层间跃迁后，图内垂直动量随位置变化。