选择一段波包怎样远程准备另一光子

让两条闲频路径到达同一个测量结果

给闲频端选择归一化模式 $|q\rangle=\cos a|0\rangle+e^{i\phi}\sin a|1\rangle$ 。这项测量保留两种频率模式的相对相位；两条路径共同贡献一次“选中模式”的点击。对闲频态取内积时，系数会复共轭，所以信号振幅是矩阵乘 $q^*$ 。

先计算未归一化的信号向量，它的长度平方就是这项结果发生的概率。只有成功率大于零，才可除以它来得到条件态。若成功率为零，这个条件事件不会出现，也没有可归一化的输出。

v=Fq^*,\qquad p_q=v^\dagger v,\qquad \rho_{s|q}=\frac{vv^\dagger}{p_q}\quad(p_q>0)

单个非零向量的外积是秩一矩阵，因此条件纯度为一。这依赖纯双光子输入和理想秩一测量。

普通强度过滤先让各频率以各自的透过率通过。宽带探测器随后把通过的不同频率结果合在一起。相应的信号态是各列外积的加权和：每列内部有相干，不同列之间没有新增的相干交叉项。

把强度透过率记为 $t_0,t_1$ ，它们都在零与一之间。过滤器传递振幅可能有相位，但在这个未分辨频率的预告测量中，最后的测量效应只留下强度透过率。不要把“对单光子作用的线性振幅滤波”与“忽略预告输出频率后的混合”混为一谈。

\widetilde\rho_s=F\begin{pmatrix}t_0&0\\0&t_1\end{pmatrix}F^\dagger,\qquad p_t=\operatorname{Tr}\widetilde\rho_s,\qquad \rho_{s|t}=\frac{\widetilde\rho_s}{p_t}

这是给定双光子态在闲频端作对角、非分辨预告的结果。只要一列被完全选出且非零，也能得到纯态。

取第三章半周相位的 $F_B$ 。它的两列正交且等长。相干选择任意归一化闲频模式，成功率均为二分之一，成功后信号为纯态。强度过滤若让两列都通过，仍留下等权混合。

令第一频率完全通过，第二频率透过率为 $t$ 。两列权重归一化后为 $1/(1+t)$ 和 $t/(1+t)$ 。下面两式显示：关掉第二列能把纯度提高到一，同时把预告成功率从一降到二分之一。相干选择能在完整的两频率叠加空间里编程选模，这正是它与窄带选择的不同用途。

p_t=\frac{1+t}{2},\qquad P_t=\frac{1+t^2}{(1+t)^2}

例如

t=1/2

时，成功率为四分之三，纯度为九分之五；

t=0

时，成功率为二分之一，纯度为一。

闲频端选不同相干模式，信号端的条件波包随之改变。要看出哪一组信号光属于哪种结果，两边必须交换预告信息。把闲频测量的所有结果一起平均，信号端未条件化的状态仍不变，因此这种远程准备不能用来超光速传信。

理想模式投影还只是器件设计的起点。真实脉冲门可能把多个输入模式转换到探测窗口，探测器也可能漏检。第七章用转换核把这些过程写进同一个测量算符，届时纯度一会成为可以检验的极限。

练习与解释性答案

对半周相位源，强度透过率取一和四分之一，求成功率及纯度。

展开解释

成功率为 $5/8$ ，归一化权重为五分之四和五分之一，纯度为 $17/25$ 。用未归一化权重直接平方相加，会漏掉成功率归一化。

只要探测器很窄带，相干脉冲门就没有用途了吗？

展开解释

窄带选择可以在特定模型中提高纯度，却限定了选出的频率波包。相干模式选择能在频率分量重叠时，依相对相位选出不同宽带叠加模式。用途在可编程波包，而非声称所有纯度与产率比较都由一种器件获胜。