混合光子的 HOM 凹陷有多深

先固定每一份纯态，再对出现概率平均

第一路以概率 $r_a$ 处在模式 $|u_a\rangle$ ，第二路以概率 $s_b$ 处在 $|v_b\rangle$ 。假定两路独立，每次组合的权重就是两个概率相乘。每个纯态组合的符合是二分之一乘以一减重叠。把它们加起来，便得到迹公式。

独立性很关键：若两路之间还有相关或纠缠，就要用联合输入态计算。这里还假定一个光子进入每个端口、分束器平衡且无损、探测不分辨所研究的内模式。

P_{\mathrm{coin}}=\frac12\sum_{a,b}r_as_b\bigl(1-|\langle u_a|v_b\rangle|^2\bigr)=\frac{1-\operatorname{Tr}(\rho\sigma)}{2}

迹把两份模式分布的相干重叠汇总成一个数。纯态时回到第一章的模平方重叠。

若两路制备相同， $\sigma=\rho$ ，重叠就是纯度。用第三章的两个反例：相位一致时单光子纯，零延迟符合为零；半周相位时单光子等权混合，零延迟符合为四分之一。两份源可以拥有同样的联合强度图，HOM 仍能给出不同结果。

若两路各自很纯但模式正交，重叠为零，符合仍为二分之一。一次低可见度既可能来自混合，也可能来自两路不匹配。只有额外确认两路相同及其他假设，才可把可见度解释为纯度。

\rho=\sigma\ \Longrightarrow\ P_{\mathrm{coin}}(0)=\frac{1-P}{2},\qquad V=\frac{P_{\mathrm{far}}-P_{\mathrm{coin}}(0)}{P_{\mathrm{far}}}=P

最后一步还用到远延迟参考

P_{\mathrm{far}}=1/2

，并假定延迟只去掉重叠，没有改变光子数和探测背景。

延迟 $\tau$ 把频谱振幅乘上 $e^{-i\omega\tau}$ 。这是一个幺正作用。若两模式真的代表离散频率区间，延迟会改变它们之间的相位，可能出现拍频；不能未经推导就添一条高斯包络。

升级后的 HOM 实验另选一个明确简化：两模式混合放在内自由度，另用独立高斯到达波包描述延迟，并让偏振也独立分解。三个重叠因子相乘，便能分别演示混合、错时与偏振失配。这是可控制的分解模型。把它用于真实连续时频态前，须检查这些自由度是否确实独立。

P_{\mathrm{coin}}(\tau)=\frac{1-\operatorname{Tr}[\rho\,U(\tau)\sigma U^\dagger(\tau)]}{2}

连续频谱或离散频率模型都可使用这条通式，具体延迟曲线由态与延迟算符决定。

理想概率乘上试验次数，给预期符合数。若损失与模式无关，两探测器效率的乘积缩放计数；抽样还会造成涨落。高增益多对发射增加其他点击路径，阈值探测器把它们合并，简单的单对纯度解释便失效。

理想概率、预期计数和合成采集记录描述不同的对象。HOM 实验改变源或探测条件后，会清空不再适用的扫描记录；扫延迟时可继续累积当前条件下的记录。比较两份条件前，先导出记录和设置，才能分辨物理变化与有限次数的波动。