复算一份高斯相干模型，再读前沿实验

先固定论文版本和要复算的那一项

Bhattacharjee 等人在 2026 年八月提交的相干时间模式过滤预印本，比较闲频端相干预告与强度过滤。阅读对象固定为 arXiv 的第一版。主文图三比较高斯滤波条件下的理论分布、测得分布与重建纯度；补充材料第四节给出一份可以单独检验的部分相干高斯模型。

下面复算的是补充式十二至十三的密度矩阵积分关系。没有从主文图三抄取实验点，也没有把无量纲宽度比替换成实际器件的太赫兹带宽。这样能先检验公式与数值方法，再决定需要哪些实验资料来做更完整的比较。

取无量纲频率 $x=(\omega-\omega_0)/\sigma_s$ ，并定义宽度比 $r=\sigma_s/\sigma_c$ 。 $\sigma_s$ 是高斯振幅包络的宽度参数， $\sigma_c$ 控制不同频率之间相干随间隔衰减的尺度。它们不是任意互换的强度半高全宽。

沿矩阵对角线，两频率相同，相干衰减因子等于一，所以归一化只由谱包络确定。离开对角线后，频率间隔越大、相干宽越窄，非对角元素就衰减得越快。纯度是整个矩阵模平方的积分，因而会随非对角相干减少而下降。

\Gamma(x,x')=\frac{1}{\sqrt\pi}\exp\!\left[-\frac{x^2+x'^2}{2}\right]\exp\!\left[-\frac{r^2(x-x')^2}{2}\right]

在这份无量纲定义下

\int\Gamma(x,x)\,dx=1

。这是论文补充式十二经变量缩放和显式归一化后的同一模型。

在纯度积分中令 $u=(x+x')/\sqrt2$ 、 $v=(x-x')/\sqrt2$ 。这是旋转坐标，面积元不变。平方后的指数成为 $-u^2-(1+2r^2)v^2$ ，两个方向可以分别积分。利用高斯积分随宽度缩放的规律，得到下式。

独立脚本直接在原来的两个频率坐标上对密度矩阵模平方作梯形积分，再除以数值迹的平方。它没有调用实验台函数。先从负六到正六分成二百四十个间隔，再从负八到正八分成四百八十个间隔，分别计算，检查截断和离散误差。五个宽度比的最大绝对误差约为十的负十三次方。

P=\iint|\Gamma(x,x')|^2\,dx\,dx'=\frac{1}{\sqrt{1+2r^2}}

这项结果对应论文补充式十三，另由直接积分计算。相干宽无限大时为纯态；谱宽相对相干宽增大时纯度下降。

B=\Delta\Omega\,\Delta T=\sqrt{1+r^2},\qquad P=\frac{1}{\sqrt{2B^2-1}}

这两式按同一高斯模型的补充式十五至十六计算，是解析关系的代入展示；本次没有另做 chronocyclic Q 函数边缘宽度的独立数值积分。使用时需要先确认高斯形状与相干假设。

纵轴：纯度横轴：谱宽与相干宽之比

曲线为论文高斯模型的解析式，点为五个无量纲宽度比上的原创直接积分。两者都是模型计算，没有实验测点。

主文图三的理论分布是前向计算；测得分布来自模式探针的符合扫描；谱密度矩阵和纯度来自带正定与归一化条件的重建。三者各回答一层问题。高斯宽度积是有用的直观量，但论文的纯度估计依靠密度矩阵重建，不能把两条过程混写。

补充材料还显示，有限扫描窗口可能让不同重建态在已测区域给出很相近的分布。拟合图像很像，仍可能留下状态上的不唯一。第六章的留出投影让这个问题在两模式里变得可操作；真实连续态还需要足够宽的测量窗口和经过标定的探测效应。

可编程多输出分选把问题从“选一个模式”推进到“可靠地区分一组模式”。2024 年预印本所述工作后来发表于 Optics Express；它的器件测量效应、输出分辨率与输入编码是继续阅读的入口。下一步应把已标定效应代入条件态预测，再用未参与标定的模式检验。

更高增益还会引入多对发射；漂移会把长时间采集中的不同状态混在一起；实际损失可能依赖模式。这些都需要增加状态或测量模型。两模式算例已经把相位、条件选择和计数分开，扩展时可以逐项追踪，比较哪里首先偏离理想预测。