FR26 · 连续互动课程
复杂流体：从构象张量到弹性失稳、伸长流与弹性湍流
黏稠的糖溶液在弯曲的细管里慢慢流，始终平稳。加入 80 ppm 的长链高分子，在同样极小的 Reynolds 数下，流动却可能变得杂乱，阻力增大好几倍，染料几分钟就混匀，而不必等上一天。原因是被拉长的分子储存了弹性应力。课程从一根弹簧和一个阻尼器出发，一直讲到研究中使用的模型，最后说明哪些问题还没有定论。
从弹簧和阻尼器，到弹性湍流
第一章用一根弹簧和一个阻尼器让液体有了记忆，并定义 Weissenberg 数。第二章把每条高分子换成弹簧连着的两颗珠子，记忆变成构象张量，得到 Oldroyd-B 模型。第三章说明伸长流为什么能拉开线团，而剪切只让它翻滚；第四章给链加上有限长度。第五章用这个长度，从一根变细的液丝上读出弛豫时间。第六章把弯曲流线上的法向应力变成失稳判据。第七章跟随一个驻点的计算模型，看应力怎样集中成一条细带、流动怎样失去对称。最后一章读 2000 年命名弹性湍流的实验和 2001 年随后的混合实验，把实验测到的和后来模拟声称的分开。
需要微积分、矩阵和一阶微分方程。张量从第二章开始出现，在那里按分量介绍。 课程计划
01 · L1
Maxwell 液体的应力松弛、蠕变与 Weissenberg 数
用弹簧串联阻尼器的 Maxwell 模型算出应力松弛、蠕变和启动剪切，再用 Weissenberg 数判断弹性何时要紧。
02 · L2
从哑铃模型到构象张量与 Oldroyd-B 方程
把高分子看成弹簧连着的两颗珠子，推出构象张量的演化方程和 Oldroyd-B 应力，解出启动剪切中的法向应力。
03 · L2
为什么伸长流能拉开高分子线团，剪切只让它翻滚
比较剪切与平面伸长中的 Oldroyd-B 构象，求出 Weissenberg 数达到二分之一时的伸展阈值，再对照单分子 DNA 实验。
04 · L3
FENE-P 模型怎样用有限链长给伸展和伸长黏度设上限
给哑铃的弹簧加上最大长度，求出 FENE-P 伸长黏度的上限和剪切变稀，再核对弹性能平衡与构象的正定性。
05 · L3
从高分子液丝半径的指数下降读出弛豫时间
用颈部的零维力平衡比较牛顿液丝与高分子液丝，推出弹性—毛细阶段的指数变细，从斜率读出弛豫时间。
06 · L3
弯曲流线上的法向应力怎样引发弹性失稳
从环向应力和锥板法向力出发，推出弯曲流线的弹性失稳参数，并用两组弹性湍流实验的数据计算它。
07 · L4
四辊流的驻点怎样失去对称，数值方法又改变了多少
跟随 Stokes–Oldroyd-B 四辊流模拟，看驻点处的应力细带、对称破缺与振荡，并检查应力扩散是否改变了结论。
08 · L4
读懂弹性湍流：没有惯性的混乱流动有哪些证据，还有什么没解决
从 Groisman 与 Steinberg 的实验读起：阻力、频谱和混合怎样说明流动已经混乱，判据为何不通用，数值模型能回答到哪一步。
沿途的实验
高分子相关的实验模拟的是均匀或理想化流动中的哑铃模型，曲线都是模型输出，不是实测数据；章节里引用实验时，数字都来自所引论文。
来源与复算范围
- A. Morozov and S. E. Spagnolie, Introduction to complex fluids, in Complex Fluids in Biological Systems (Springer, 2015), chapter 1
第 3 节：Weissenberg 数定义为弛豫时间乘剪切率；式 (1.27) 为广义牛顿液体。第 4.1 节：式 (1.47)—(1.51)，弹簧、阻尼器、Maxwell 液体及其记忆积分，弛豫时间等于黏度除以模量。式 (1.72)：上随体导数；式 (1.80)：Oldroyd-B；式 (1.86)—(1.87)：FENE-P。第 4.4 节：Hooke 哑铃，式 (1.98)—(1.110)。式 (1.116)：Oldroyd-B 稳态剪切的法向应力。式 (1.117)—(1.125)：环向应力与锥板法向力。式 (1.128)—(1.131)：单轴伸长，以及 Oldroyd-B 在伸长率达到弛豫时间倒数一半时的发散。书中没有启动过程的解，也没有平面伸长；这两部分由课程自行推导。
- E. M. Purcell, Life at low Reynolds number, American Journal of Physics 45, 3–11 (1977)
把 Reynolds 数写成尺寸乘速度乘密度再除以黏度；游动微生物约为 1e-4 到 1e-5，细菌停止推进后只滑行约 0.1 埃。扇贝定理：低 Reynolds 数下只有形状变化的顺序起作用，快慢无关。仅用于说明惯性可以忽略的背景。据扫描重印本阅读，只读了期刊第 3–6 页。
- C. M. Schroeder, Single polymer dynamics for molecular rheology, arXiv:1712.03555v1; Journal of Rheology 62, 371–403 (2018)
2017 年 12 月 10 日 v1。第 III 节：单个 DNA 分子在稳态剪切中首尾翻滚（图 4）。在伸长流中，只看达到稳态伸展的分子，线团—伸展转变极为陡峭；同样的起点，分子会走不同的路径（“分子个性”）。所引实验为 Perkins、Smith 与 Chu，Science 276, 2016 (1997)，以及 Smith 与 Chu，Science 281, 1335 (1998)。构象滞回：Schroeder 等，Science 301, 1515 (2003)，1.3 mm 长的 DNA 在 12 个以上的应变单位内保持拉直或保持成团；拉直与成团时的拖曳之比，λ-DNA 约 1.6，1.3 mm DNA 约 5。这三篇 Science 论文经由此综述引用，课程没有直接阅读。
- G. H. McKinley, Visco-elasto-capillary thinning and break-up of complex fluids, MIT Hatsopoulos Microfluids Laboratory report 05-P-04, submitted to Annual Rheology Reviews (2005)
式 (1)—(2)：变细液丝的应变率与 Hencky 应变。式 (4)—(7)：单轴伸长中 Oldroyd-B 的应力增长，以及有限伸长带来的上限。式 (8)：弹性—毛细变细，半径按指数下降，时间常数为三倍弛豫时间，液丝的 Weissenberg 数为 2/3。式 (11)：伸长黏度不变后线性变细。式 (15)：颈部的零维力平衡。式 (16)：牛顿液体的相似解，系数 0.0709；其后的正文指出简单零维模型的估计偏差超过 100%。第 5.4 节：有限伸长哑铃的终极伸长黏度。式 (8) 的前置系数与表 2 所列相差一个因子，即 2 的立方根，第 5.4 节把差别归于一维相似解；课程只用指数，不用前置系数。
- A. Groisman and V. Steinberg, Elastic turbulence in a polymer solution flow, Nature 405, 53–55 (2000); arXiv:nlin/0104052v1
arXiv v1，已通读。图 1：转动上板半径 38 mm，杯半径 43.6 mm，液深 10 mm，12 °C 的旋流装置。方法：溶剂为 65% 蔗糖加 1% 氯化钠，黏度 0.324 Pa s；加入分子量 1.8e7 的聚丙烯酰胺 80 ppm；溶液在每秒 1 的剪切率下黏度 0.424 Pa s；弛豫时间 3.4 s。图 2：剪切率约每秒 1 处发生转变（Weissenberg 数 3.5，Reynolds 数约 0.3），有滞回；阻力最多约为层流的 12 倍（液深 10 mm）和 19 倍（20 mm）。图 3：Weissenberg 数为 13 时的快照。图 4：亮度谱。图 5：速度谱，剪切率每秒 4 时在约一个数量级内呈指数 −3.5 的幂律。正文：Reynolds 应力不到阻力的 0.5%。
- A. Groisman and V. Steinberg, Efficient mixing at low Reynolds numbers using polymer additives, Nature 410, 905–908 (2001); arXiv:nlin/0104050v1
arXiv v1，已通读。图 1：宽 3 mm 的流道，由 60 个内外半径为 3 mm 和 6 mm 的半圆环连成。溶剂黏度 0.153 Pa s，密度每立方米 1320 kg；聚丙烯酰胺 80 ppm；溶液在每秒 4 的剪切率下黏度 0.198 Pa s；弛豫时间 1.4 s；染料扩散系数约每秒 8.5e-7 平方厘米。Weissenberg 数与 Reynolds 数都由流量和流道宽度定义。Weissenberg 数到 3.2 之前流动保持定常（Reynolds 数 0.06）；混合实验在 6.7 下进行。图 2：速度谱随波数呈指数 −3.3 的幂律。图 4：约 15 个单元、约 120 s 内完成混合，比扩散时间快三个数量级。
- A. Groisman and V. Steinberg, Elastic turbulence in curvilinear flows of polymer solutions, New Journal of Physics 6, 29 (2004)
第 2 节：曲线流动中的弹性失稳由参数 K 控制，它由聚合物黏度占比、间隙与半径之比和 Weissenberg 数的平方相乘而成，是 Taylor 数的弹性对应物；论文没有给出 K 的普适临界值。第 4.2 节：Couette–Taylor 流的转变约在 Weissenberg 数 4，两板间流动在间隙半径比 0.26 和 0.52 时分别为 3.2 和 2；在所测最高的 Weissenberg 数下，Couette–Taylor 流的阻力增大 4.2 倍，两板间为 11 倍和 19 倍。第 5 节：弯曲流道中，Weissenberg 数约 2 时可能出现定常涡，3.2 时开始不规则运动（Reynolds 数 0.06）；100 µm 的微流道从估计的 Weissenberg 数 1.3 起阻力增长，约 9 时达到 2.8 倍。第 6 节把三种几何中阻力的增长概括为约 20、4.2 和 2.8 倍，依次对应两板间流动、Couette–Taylor 流和流道。
- S. S. Datta et al., Perspectives on viscoelastic flow instabilities and elastic turbulence, arXiv:2108.09841v1 (2021); Physical Review Fluids 7, 080701 (2022)
arXiv v1，2021 年 8 月 22 日；未核对期刊版本。第 II 节式 (1)：Pakdel–McKinley 判据，把流线曲率与法向应力和剪切应力之比结合起来。文中没有给出 Taylor–Couette 或锥板流的临界值。第 III 节：十字槽流动的模拟中，这一判据的局部最大值超过约 4 至 5 时，流动失去对称或变得随时间变化；式 (2) 与表 II 用构象张量写出 Oldroyd-B、FENE-P 等模型，便于检查正定性并采用对数构象格式；一个二维 Taylor–Couette 模拟在 Weissenberg 数约 10 处变为混沌。研讨会总结指出，在高 Weissenberg 数下 Oldroyd-B 几乎从来不是定量准确的。
- B. Thomases and M. Shelley, Emergence of singular structures in Oldroyd-B fluids, Physics of Fluids 19, 103103 (2007)
不加应力扩散、由四辊力驱动的 Stokes–Oldroyd-B 流。中心驻点附近，局部应变率乘 Weissenberg 数起有效 Weissenberg 数的作用；Weissenberg 数趋于零时这一应变率趋于 2/3。有效值的两个临界点 1/3 和 1/2，分别对应 Weissenberg 数约 0.5（应力出现尖点）和约 0.9（应力无界）。网格最多每边 4096 点。加上 FENE-P 惩罚后应力有界，但尖点状结构仍在。
- B. Thomases and M. Shelley, Transition to mixing and oscillations in a Stokesian viscoelastic flow, Physical Review Letters 103, 094501 (2009)
式 (1)—(2)：周期盒中的 Stokes 流加 Oldroyd-B 应力，由定常四辊力驱动；聚合物与溶剂黏度之比固定为 0.5，对应 Arratia 等人的十字槽实验；应力扩散取 1e-3。Weissenberg 数为 10 时，流动约在论文单位的时刻 200 失去对称，之后出现周期约 317 和 59 的振荡；低于约 5 时流动保持被外力“奴役”的对称形态。
- B. Thomases, M. Shelley and J.-L. Thiffeault, A Stokesian viscoelastic flow: transition to oscillations and mixing, Physica D 240, 1602 (2011)
式 (1)—(2) 与 (6)：同一模型，Weissenberg 数不超过 10 时应力扩散取 1e-3。式 (4)—(5)：聚合物应变能的平衡式。第 3.1 节图 2：对称定常态加小扰动，Weissenberg 数为 4.8 时衰减，4.9 时增长；网格 256 乘 256，分辨率加倍动力学不变。图 6(d)：Weissenberg 数为 10 时速度谱的周期约 330 和 55。第 5 节：约 4.9 到 9 之间，失去对称的流动会重新稳定；约 9 以上一个涡旋中心脱离固定位置，持续振荡并混合流体；12 和 15 时为周期运动，约 20 以上为非周期。附录 B：应力扩散按 FENE-P 标定；文中没有报告它对阈值的影响。
- A. Gupta and D. Vincenzi, Effect of polymer-stress diffusion in the numerical simulation of elastic turbulence, arXiv:1809.09648v2 (2019)
2019 年 3 月 7 日 v2；未核对期刊版本。二维 Oldroyd-B 流，由胞状外力驱动，Deborah 数 10，采用 Cholesky 分解与 Kurganov–Tadmor 格式。使用 Thomases 等人的应力扩散（Schmidt 数 1e3）时，流动长时间几乎冻结，随后打破胞状对称（图 2—4）；不加扩散时很快变为混沌，却保持外力的对称（图 5）。第 3 节：在他们的设置中，对称破缺是扩散造成的假象。第 4 节：FENE-P 结果相同；对应变与涡量混在一起的外力，这种影响可能较弱。
- Sandbox Physics FR26, four-roll elastic instability: numerical model (docs/frontier/fr26/four-roll-elastic-instability-model.md, with long-run records in docs/frontier/fr26/records/)
模型版本 fr26-four-roll-elastic-instability-v1。模型说明写明：双周期的四辊单元代替了 2001 年实验中的弯曲流道，它有弯曲流线和拉伸驻点，但没有壁面、没有净流量、没有流道宽度和半径，因此不能拿流道的阈值和频谱与它比较。说明中记录了方程、伪谱离散方法和实验页面显示的诊断量。每次运行都与网格、时间步长、应力扩散和扰动种子一起保存。这些是本路线的数值结果，不是实验数据。