M027 · 固体力学

应力—应变材料试验机

试样加载再卸载以后，里面会留下什么？ 看材料。弹性试样会回到原长，塑性试样留下永久伸长，黏弹性试样里可能还留着慢慢松弛的内应力。所以伸长回到零，不代表里面没有残余应力。

选一种试样：弹性、塑性、脆性或黏弹性。先拉伸并保持，再卸载、反向压缩，最后回到零应变。一路看它的内部状态和能量怎么变，再用测到的力和标距伸长求出加载斜率。

选中程序时间 $\text{就绪}$

工程应变 $\text{就绪}$

工程应力 $\text{就绪}$

有符号拉力 $\text{就绪}$

不可逆塑性应变 $\text{就绪}$

储存的可恢复及硬化能 $\text{就绪}$

有符号外功 $\text{就绪}$

耗散或断裂损失能 $\text{就绪}$

功与能量平衡残差 $\text{就绪}$

原始记录的初始加载斜率 $\text{就绪}$

采集测点数 $\text{就绪}$

模型状态 $\text{就绪}$

设定几何和加载历史，再记录原始数据

试样加载再卸载以后，里面会留下什么？

原始标距

L_0

0.10\,m

试样原始宽度

b_0

10.00\,mm

试样原始厚度

h_0

2.00\,mm

瞬时 Young 模量

E_0

70.00\,GPa

初始屈服应力

\sigma_y

250.00\,MPa

各向同性硬化模量

H

2.00\,GPa

最大工程应变

\varepsilon_{max}

0.01\,

斜坡应变率

\dot\varepsilon

0.00\,s^{-1}

每次保持时长

t_h

4.00\,s

Maxwell 松弛时间

\tau

3.00\,s

平衡模量比例

E_\infty/E_0

0.30\,

脆断应变阈值

\varepsilon_f

0.00\,

本构：弹性、塑性、脆性、黏弹性

s

1.00\,

加载程序进度

\xi

0.35\,

传感器扰动倍率

\epsilon_n

0.00\,

均匀的矩形标距段夹在两个夹头之间。横梁精确给定标距段的伸长，应力按原始截面积计算。橙色标记标出标距两端。应变按真实比例画出，伸长没有放大。机架只是示意，不模拟试验机自身的变形，也不模拟试样的横向收缩。

试验程序依次是：拉伸、保持、卸载到零应变、压缩、再保持、回到零应变。进度滑块从未受过载的试样开始重放，跳到最近的存储状态，不能单独设定应力。压缩段仍按均匀材料测试处理，不考虑试样屈曲。

塑性采用一维返回映射和线性各向同性硬化，不含 Bauschinger 效应。黏弹性材料是一根平衡弹簧并联一个 Maxwell 支路，每个加载段或保持段都精确更新。应变绝对值一旦超过阈值，脆性试样就断开，应力永久降为零，释放的能量计为损失。模型不含裂纹扩展，也不含断后接触。

采集整个试验程序后，只用原始力、伸长和已知的原始尺寸，求出初次加载的斜率。拟合只取拉伸应变的前 0.03%。黏弹性材料得到的是表观斜率，会随加载速率变化。传感器扰动可以复现：噪声增益每一个单位，对应 0.02 牛和 0.1 微米。这里不用材料数据库，不模拟颈缩，不认证韧性，也不给置信区间。

试样均匀变形，服从小应变的教学本构模型。标距伸长由程序直接指定，应力始终按原始面积计算。不模拟颈缩、断后接触、机器柔度和压缩时的屈曲，也不为任何真实材料作认证。

先抓重点

核心问题: 伸长回到零，材料里就没有应力了吗？
一句话直觉: 装置画面、读数和能量记录，描述的都是同一个物理状态。

核心数学模型

工程应变与工程应力

\begin{aligned}\varepsilon&=\frac{\Delta L}{L_0}\\\sigma&=\frac{F}{A_0}\end{aligned}

两者都用原始长度和面积。不计算真实应力，也不跟踪颈缩时变小的截面积。

各向同性硬化的塑性

\begin{aligned}\sigma&=E(\varepsilon-\varepsilon_p)\\|\sigma|&\leq\sigma_y+H\alpha\\d\alpha&=|d\varepsilon_p|\end{aligned}

永久应变可正可负，看塑性流动朝哪个方向。累计塑性应变和屈服半径都只会增大。

平衡弹簧并联一个 Maxwell 支路

\begin{aligned}\sigma&=E_\infty\varepsilon+z\\\dot z+\frac{z}{\tau}&=(E_0-E_\infty)\dot\varepsilon\end{aligned}

保持阶段，瞬态弹簧里的应力逐渐松弛。每个恒速段都精确更新，不会因为方程刚性、时间步取得粗而算出假象。

功与能量平衡

\begin{aligned}W&=V_0\int\sigma\,d\varepsilon\\W&=\Psi+D\end{aligned}

外力做的功有正有负，它等于弹性储能和硬化储能，再加上不可逆耗散。脆断时释放的能量算作损失。

由原始数据求加载斜率

\begin{aligned}\frac{F_i}{A_0}&\simeq c+\widehat E\frac{\Delta L_i}{L_0}\\0&<\frac{\Delta L_i}{L_0}\leq3\times10^{-4}\end{aligned}

拟合只用新试样第一次拉伸段的数据和原始几何。黏弹性试样的斜率随加载速率变化。

常见难点

模型在哪里失效

容易误解画出来的曲线很平滑，物理上就一定对。

正确理解要看这个状态是否落在模型成立的范围内，还要看采集到的记录。这些教学模型不能为真实试样作担保。

动手实验

01
屈服后卸载
选“屈服与卸载”，拖动进度滑块走完整个程序。
你会看到： 材料里留有永久应变，所以总应变回到零时，仍可能需要一个不为零的应力。
02
保持伸长不变
选“黏弹性保持”，改变保持时长和加载速率。
你会看到： 伸长不变时应力会松弛，但平衡弹簧仍留着一部分拉力。
03
看断裂时释放的能量
选“脆性断裂”，看断裂阈值前后的能量曲线。
你会看到： 应力一旦截断就回不去。释放出的储能计入损失，并没有凭空消失。
04
求出加载斜率
采集完整程序，查看原始数据通道，导出 CSV，再改变扰动大小。
你会看到： 对新试样的拟合只用原始的力和伸长。黏弹性试样的表观斜率随加载速率变化。

应力—应变材料试验机

材料内部的历史

核心数学模型

工程应变与工程应力

各向同性硬化的塑性

平衡弹簧并联一个 Maxwell 支路

功与能量平衡

由原始数据求加载斜率

常见难点

模型在哪里失效

动手实验

屈服后卸载

保持伸长不变

看断裂时释放的能量

求出加载斜率

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