M002 · 运动学 / 实验测量

自由落体与重力测量

相机有噪声、光电门计时粗糙，还能把重力加速度测准吗？ 精密度可以很高，但未必准确。把初始高度、初速度和重力加速度一起拟合，随机误差能压得很小；可是计时的最小刻度和空气阻力会让结果整体偏向一边，数据再多也消不掉。

有刻度的落体塔、可移动的光电门和频闪相机，记录的是同一次下落。改变星球、释放高度和初速度，拟合带噪声的相机位置，再从残差里看出精密和准确的区别。

精细检查时间 $0\,\mathrm{s}$

向下重力大小 $0\,\mathrm{N}$

向上为正的空气阻力 $0\,\mathrm{N}$

参考遮光片离门时刻 $\text{Waiting}$

橙色标尺跨度 $0\,\mathrm{m}$

橙色刻度间隔 $0\,\mathrm{m}$

经过时间 $0\,\mathrm{s}$

高度 $30\,\mathrm{m}$

竖直速度 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

重力拟合与标准误 $\text{Collecting}$

相对真值的偏差 $0\,\%$

位置残差均方根 $0\,\mathrm{mm}$

光电门速度 $\text{Awaiting gate}$

遮光片通过时间 $0\,\mathrm{ms}$

能量收支误差 $0\,\mathrm{J}$

相机观测数 $0$

记录一次下落，用模型拟合

先测量，再检验模型

显示作用力蓝色箭头是重力，紫色箭头是空气阻力或杆力。力和速度箭头各用一套比例，整次试验里不变。瞬时碰撞不画成有限大小的力箭头。显示米制标尺橙色标尺和运动用同一个长度比例；物体大小、支架粗细和相机外形只是示意。截至当前的物理解路径绿色路径是解出的物理参考；相机观测单独记录在下方。竖直速度装置中的青色箭头使用固定速度比例尺。叠加连续真值把拟合模型与物理解逐点比较。释放高度

h_0

30.00\,\mathrm{m}

初始竖直速度

v_{y,0}

0.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}

局部重力

g

9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}

相机帧率

f_s

20.00\,\mathrm{Hz}

位置噪声标准差

\sigma_y

0.01\,\mathrm{m}

时钟分辨率

\Delta t_{\mathrm{clock}}

0.00\,\mathrm{s}

光电门高度比例

h_{\mathrm{gate}}/h_0

0.50\,

线性空气阻尼

b/m

0.00\,\mathrm{s^{-1}}

检查飞行时刻

t/t_{\mathrm{impact}}

0.00\,\%

可以拖动释放圆环或金色光电门；所有设置和查看的时间点也都能用键盘调滑块。点“采集新的一次落体”只换一组噪声，物理参数不变。

当地重力均匀，测试物是 1 kg 的质点，地面水平。可选的线性空气阻力用来故意让匀加速拟合失效。相机噪声是独立的高斯位置噪声，时钟误差按量化处理。显示的不确定度是只考虑位置噪声时的一倍标准误，不包含所有误差来源。光电门测量 10 cm 遮光片的通过时间；三维视图里的高度按真实比例，二维图中的遮光片放大了，方便看清。这是模拟出来的仪器，不是真实测量。

物理教程

让一次落体成为一台仪器

背景有了标定过的高度和时钟，一次下落就成了重力实验。落体塔把三样东西分开：物体真实的轨迹、相机拍到的位置，以及拟合这些位置的模型。光电门是另一台仪器，它记录一段有长度的遮光片通过的时间，不记录相机里的位置。

为什么值得理解OpenStax《University Physics》第一卷第 3.5 节的自由落体方程，在均匀重力和真空的假设下是精确的。真实测量却受采样、位置噪声和时钟分辨率的限制。这里能直接看到这些影响，还可以加上线性空气阻力，故意让模型和实际对不上。

先抓重点

核心问题: 初始位置和初速度并不确切知道，你还能测出当地重力吗？
一句话直觉: 初始高度、初速度和重力一起拟合。独立的位置噪声决定 $\widehat g$ 的标准误，但这个标准误只考虑了位置噪声；即使它很小，时钟的最小刻度和空气阻力仍可能让结果明显偏向一边。

核心数学模型

真空参考解

y(t)=h_0+v_{y,0}t-\frac12gt^2,\qquad v_y(t)=v_{y,0}-gt

向上为正。最高点速度为零，重力加速度仍然向下。物体下落、第一次碰到地面时，模型就结束。

三个参数一起拟合

\min_{\beta_0,\beta_1,\beta_2}\sum_i\left[y_i-(\beta_0+\beta_1t_i+\beta_2t_i^2)\right]^2,\qquad\widehat g=-2\beta_2

先把时间平移到中点并缩放，最小二乘求解就不容易出现数值病态。释放高度和初速度也当作未知数一起估计，并不固定在真值上。

条件不确定度

\operatorname{SE}(\widehat g)=2\sqrt{\widehat\sigma^2[(X^{\mathsf T}X)^{-1}]_{33}},\qquad\widehat\sigma^2=\frac{\sum_i r_i^2}{N-3}

这是一倍标准误，前提是位置误差彼此独立、方差相同，观测时间精确。时钟量化、标定误差和错误的加速度模型都不在其中。观测少于四次时，无法估计残差方差。

光电门平均速率与能量收支

\overline v_{\mathrm{gate}}=\frac{\ell}{t_{\mathrm{exit}}-t_{\mathrm{entry}}},\qquad E(t)-E(0)-W_{\mathrm{air}}(t)=0

遮光片长 10 cm，光电门测到的是遮光片通过期间的平均速率，不是某一点的速度。时钟量化可能把通过时间舍入成零，这时仪器显示无法分辨。打开空气阻力后，能量收支也计入空气做的功。

常见难点

残差小不代表准确

容易误解抛物线拟合平滑、标准误很小，所以重力读数一定正确。

正确理解打开空气阻尼，拟合曲线看上去仍像抛物线，重力值却已经偏了。残差如果呈现有规律的形状，就是匀加速假设不成立的证据。

多拍几帧修不好时钟

容易误解增加帧率必然改善所有测量。

正确理解时钟太粗，相邻几帧会拿到同一个时间戳，很短的遮光时间也可能直接变成零。显示的标准误仍然只考虑位置噪声。

向上抛出也在自由落体

容易误解到达最高点后重力才开始起作用。

正确理解真空中的上升和下降受到同一个向下加速度；速度会反向，加速度不会。

动手实验

01
在地球标定
选地球落体塔，把位置噪声与时钟分辨率都设为零，采集一次落体。移动光电门，再在过门时刻比较光电门速度与竖直速度读数。
你会看到： 拟合出的重力接近设定值，光电门给出遮光片通过期间的平均速率。真空中，能量收支误差只有舍入误差那么大。
02
更换星球与初态
比较月球与地球落体塔，再选向上抛出，拖动时间滑块经过最高点。
你会看到： 重力小，实验就更长。三参数拟合能把向上的初速度拟合出来，不会把它误当成重力变了。
03
看清噪声和时钟的极限
选不理想相机，多次采集；分别改变帧率和时钟分辨率。
你会看到： 每次采集的噪声不同，拟合值也跟着变。位置散布、时间量化和光电门无法分辨，是三种不同的误差来源。
04
破坏拟合假设
加入线性空气阻尼，观察重力偏差和残差形状，再恢复真空。
你会看到： 有阻力时，匀加速拟合得到的只是一个有效加速度。这个偏差来自物理模型不对，光降低相机噪声消除不了。