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Sandbox Physics

M002 · 运动学 / 实验测量

自由落体与重力测量

有刻度的落体塔、可移动光电门与频闪相机共享一条物理轨迹。改变星球、释放高度和初速度，拟合带噪相机位置，从残差中看清精密与准确的区别。

交互模型自由落体与重力测量
经过时间0 s0\,\mathrm{s}
高度30 m30\,\mathrm{m}
竖直速度0 m s−10\,\mathrm{m\,s^{-1}}
重力拟合与标准误Collecting\text{Collecting}
相对真值的偏差0 %0\,\%
位置残差均方根0 mm0\,\mathrm{mm}
光电门速度Awaiting gate\text{Awaiting gate}
遮光片通过时间0 ms0\,\mathrm{ms}
能量收支误差0 J0\,\mathrm{J}
相机观测数00

物理教程

让一次落体成为一台仪器

背景标定高度和时钟，就能把竖直运动转化为重力实验。落体塔把物理轨迹、相机观测和观测的拟合模型分开；光电门是另一种仪器，测量有限遮光片的通过时间，而不是相机中的一个位置。

为什么值得理解OpenStax《University Physics》第一卷第 3.5 节的自由落体方程，在均匀重力与真空假设下是精确参考。真实测量引入采样、位置噪声和时钟分辨率；这里把这些影响显露出来，并允许用线性空气阻力故意制造模型失配。

先抓重点

核心问题
不假装初始位置与初速度完全已知，你还能恢复局部重力吗？
一句话直觉
同时拟合初始高度、初速度和重力。独立位置噪声给出 g^\widehat g 的条件标准误；时钟量化与阻力却可能在标准误很小时仍造成明显偏差。

核心数学模型

真空参考解

y(t)=h0+vy,0t−12gt2,vy(t)=vy,0−gty(t)=h_0+v_{y,0}t-\frac12gt^2,\qquad v_y(t)=v_{y,0}-gt

向上为正。最高点速度为零，重力加速度仍然向下；模型在首次下降穿越地面时结束。

三个参数一起拟合

min⁡β0,β1,β2∑i[yi−(β0+β1ti+β2ti2)]2,g^=−2β2\min_{\beta_0,\beta_1,\beta_2}\sum_i\left[y_i-(\beta_0+\beta_1t_i+\beta_2t_i^2)\right]^2,\qquad\widehat g=-2\beta_2

对时间中心化并缩放，减少最小二乘求解中的数值病态。释放高度与初速度作为未知参数估计，不会偷偷固定在真值上。

条件不确定度

SE⁡(g^)=2σ^2[(XTX)−1]33,σ^2=∑iri2N−3\operatorname{SE}(\widehat g)=2\sqrt{\widehat\sigma^2[(X^{\mathsf T}X)^{-1}]_{33}},\qquad\widehat\sigma^2=\frac{\sum_i r_i^2}{N-3}

这是独立、等方差位置误差且观测时间精确时的一个标准误。不包含时钟量化、标定误差或错误的加速度模型；不足四次观测无法估计残差方差。

有限光电门与能量检验

v‾gate=ℓtexit−tentry,E(t)−E(0)−Wair(t)=0\overline v_{\mathrm{gate}}=\frac{\ell}{t_{\mathrm{exit}}-t_{\mathrm{entry}}},\qquad E(t)-E(0)-W_{\mathrm{air}}(t)=0

遮光片长 10 cm，有限通过时间给出平均速率，而非精确的点速度。时钟量化可能把通过时间舍入为零，此时仪器报告无法分辨；能量收支包含可选的空气做功。

常见难点

残差小不代表准确

容易误解抛物线拟合平滑、标准误很小，所以重力读数一定正确。

正确理解打开空气阻尼，拟合仍可能很像抛物线，却给出有偏重力；残差中的系统结构会反驳匀加速假设。

多拍几帧修不好时钟

容易误解增加帧率必然改善所有测量。

正确理解粗时钟会给相邻帧重复的时间戳，也可能吞掉短暂遮光时间；显示的标准误仍以只有位置噪声的模型为条件。

向上抛出也在自由落体

容易误解到达最高点后重力才开始起作用。

正确理解真空中的上升和下降受到同一个向下加速度；速度会反向，加速度不会。

动手实验

  1. 01

    在地球标定

    选地球落体塔，把位置噪声与时钟分辨率都设为零，采集一次落体。移动光电门，再在过门时刻比较光电门速度与竖直速度读数。

    应该观察到： 重力拟合接近设定真值，光电门给出遮光片通过期间的平均速率；真空能量收支误差接近舍入量级。
  2. 02

    更换星球与初态

    比较月球与地球落体塔，再选向上抛出，拖动时间滑块经过最高点。

    应该观察到： 重力变小让实验更长；三参数拟合恢复向上初速度，不会把它错误归因于重力变化。
  3. 03

    显露噪声和时钟极限

    选不理想相机，多次采集；分别改变帧率和时钟分辨率。

    应该观察到： 不同噪声实现改变拟合值；位置散布、时间量化和无法分辨的光电门是不同误差来源。
  4. 04

    破坏拟合假设

    加入线性空气阻尼，观察重力偏差和残差形状，再恢复真空。

    应该观察到： 有阻力时匀加速拟合得到的是有效加速度；这是物理模型误差，单独降低相机噪声无法消除。