尖锐的裂尖会把应力堆起来
在宽板上钻一个圆孔再拉伸，孔边与载荷方向垂直的两侧，应力是远处的三倍。把孔换成一条横着载荷、又窄又长的槽，应力集中得更厉害；理想裂纹的尖端完全尖锐，越靠近裂尖，弹性应力越大，没有上限。
照字面理解，带裂纹的物体在任何载荷下都会断，这显然不对。真实裂尖总会在某个小尺度上变钝，原因可能是原子间距、塑性流动或损伤。只看峰值应力的判据，就得依赖一个通常不知道的裂尖半径。Griffith 绕开裂尖细节，改为计算能量。
比较放出的能量和花掉的能量
保持载荷不变，让裂纹面积增加一点。物体变软，势能下降；材料则要花能量把两个新表面分开，还要让裂尖附近的小区域变形。每单位新裂纹面积放出的能量等于花掉的能量时，裂纹就能扩展。
每单位面积放出的能量叫能量释放率，花掉的叫断裂能。理想脆性固体里，一刀切出两个面，断裂能是表面能的两倍。真实材料的断裂能还包括裂尖附近的塑性功和其他耗散，所以要从断裂试验中测得。
完整例题
推出带裂纹平板的断裂应力
取一块平面应力状态下的大平板，中间有一条贯穿裂纹，总长是半长的两倍，与远处拉应力垂直。弹性解给出打开这条裂纹时每单位板厚放出的能量：它与应力的平方、半长的平方成正比，与杨氏模量成反比。
裂纹有两个尖端，半长增加一点，裂纹总长就增加两倍那么多。用放出能量的变化除以裂纹长度的变化，得到每个裂尖的能量释放率；令它等于断裂能，解出应力。断裂应力与裂纹长度的平方根成反比，裂纹长到四倍，断裂应力减半。
代入一组取整的示意数值：杨氏模量 70 GPa，断裂能每平方米 8 焦耳，半长 1 微米，断裂应力约 420 MPa；半长变成 100 微米，断裂应力降到约 42 MPa。这组取整的数只用来看比例关系。
Griffith 1921 年的论文印出的断裂应力，根号里多了泊松比。同一篇论文的文末附注说明，这一结果所依据的应变能计算需要更正。上面的公式是更正后的形式，与后来文献的写法一致。
能量平衡没有回答的问题
能量平衡只判断裂纹能不能长，管不了它往哪边拐、启动后跑多快。均匀平板受纯拉伸时，裂纹按对称性走直线；载荷里混有剪切时，就要另加方向规则。常用的局部对称原则让裂尖转到剪切分量为零的方向。
能量平衡还默认材料真正断开的区域比裂纹和试样小得多。Bouchbinder、Fineberg 和 Marder 把这一“小尺度”假设列为线弹性断裂力学成立的前提之一。断开区域和裂纹一样大时，材料强度会作为第二个尺度进来；第五章会把它写进相场模型。
带着问题动手
先预测，再改变，最后解释
- 打开 Griffith 裂纹扩展实验，选平板预设。载荷爬升之前，先预测：远处应力保持不变时，裂纹一旦开始扩展会不会自己停下？
- 拖动裂尖，把初始裂纹拉长，再让载荷重新爬升。
- 把开始扩展时的应力和“平方根反比”规律对照，再用柱状图说明放出的能量去了哪里。
断裂实验运行的是无量纲单位下的简化二维模型。每个实验在模型说明里写明模型、单位和适用范围，并可导出读数背后的记录。
试着自己解释
1. 一块平板在裂纹半长 0.1 毫米时于 200 MPa 断裂。同样的平板，裂纹半长 1.6 毫米时在多大应力下断裂？
展开答案与解释
断裂应力与裂纹长度的平方根成反比。裂纹长了 16 倍，应力除以 4，得 50 MPa。
2. 板厚加倍，为什么 Griffith 断裂应力不变？
展开答案与解释
放出的能量和表面代价都与板厚成正比，按单位板厚计算的平衡不变。板厚只通过平面应力向平面应变的转变，以及裂尖断开区的大小，间接起作用。
3. 在例题里把断裂能加倍，断裂应力变为原来的多少倍？
展开答案与解释
断裂应力与断裂能的平方根成正比，变为根号 2 倍，约 1.41 倍。
可以放在旁边读的来源
- Bouchbinder, Fineberg & Marder, Dynamics of Simple Cracks, arXiv:0911.0173; Annual Review of Condensed Matter Physics 1, 371–395 (2010)
第 1 节方程（1）至（3）用刚性夹紧的长条定义 Griffith 点和单位面积表面能。第 2 节写明能量平衡、裂尖附近按距离平方根倒数增长的应力、能量释放率与应力强度因子的关系、局部对称原则，以及线弹性断裂力学的适用前提。综述还报告 PMMA 和玻璃中约在 0.4 倍 Rayleigh 波速出现微分叉。第 3 节讨论裂尖处的小尺度，包括内聚区和相场模型。课程引用这些结论，不使用综述中的数据。
- Sargado, Welch & Lüthje, Approximate formulas for the energy release rate of a crack perpendicular to a material interface, arXiv:2210.06315v1 (2022)
方程（1）至（3）重述大平板中心裂纹释放的能量和能量释放率，并给出平面应力与平面应变下的有效模量。方程（29）转引 Tada、Paris 和 Irwin 的中心裂纹有限宽度正割修正。课程把它作为中心裂纹基准的参考值。1973 年的手册原文没有查阅。
- Tanné, Li, Bourdin, Marigo & Maurini, Crack nucleation in variational phase-field models of brittle fracture, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 110, 80–99 (2018); preprint hal-01568702
第 2 节给出 AT2 能量（方程 2 取 AT2 形式）、特征长度以及临界应力强度因子与断裂能的关系（方程 5），表 1 给出均匀杆强度。第 3.1 节方程（7）至（11）给出 V 形缺口的奇异场；缺口闭合成裂纹时，其幅值就是 I 型应力强度因子。第 4 节通过尺寸效应把正则化长度当作材料长度。基准 B4 用表 1 检验浏览器模型的均匀杆强度。
- Griffith, The phenomena of rupture and flow in solids, Philosophical Transactions of the Royal Society A 221, 163–198 (1921)
第 2 节提出能量判据：只要计入新表面能量后的势能还能继续下降，裂纹就会扩展。第 3 节计算平板中直裂纹的能量。论文印出的平面应力断裂应力在根号里多了泊松比；文末附注说明这部分应变能计算需要更正。课程采用更正后的形式，即 Sargado 等人在方程（1）至（3）中重述的结果。