L2 · 第 2 章

从柔度曲线求能量释放率

在几个裂纹长度下测柔度，也就是单位载荷对应的位移。能量释放率等于载荷平方的一半乘柔度对裂纹长度的斜率，再除以板厚。裂纹扩展时无论保持载荷不变还是保持夹头不动，这个公式都成立。

Sandbox Physics · 2026-10-29

裂纹越长，试样越像一根软弹簧

用夹头拉一个带裂纹的试样，同时记录载荷和夹头位移。线性范围内，位移与载荷之比就是柔度。裂纹越长，同样的载荷下试样张得越开，柔度随裂纹长度上升。储存的弹性能是载荷乘位移的一半，也就是载荷平方乘柔度的一半。

C(a)=\frac{\Delta}{P},\qquad U=\tfrac12P\Delta=\tfrac12P^2C(a)

两种加载方式，同一个能量释放率

先保持载荷不变，让裂纹长一点。柔度变大，夹头随之分开，载荷做的功等于载荷乘这段额外位移。储存的弹性能只增加了这份功的一半，另一半流向裂尖。

再改成夹头固定。外力不做功，试样变软，载荷下降，储存的弹性能减少。只看一阶小量，减少的量与固定载荷时流向裂尖的能量相同。两种情形都除以新增的裂纹面积，得到同一个能量释放率。

整个推导只用到柔度曲线。断裂试验常用柔度法，正是因为它把裂尖附近难测的应力场，换成了容易测的整体刚度。

G=\frac{P^2}{2B}\frac{dC}{da}

完整例题

算一个双悬臂梁

取厚度为 B、单臂高度为 h 的梁，沿中面切开，切口深度就是裂纹长度。两条臂各是一根同样长的悬臂梁。按最简单的梁理论，忽略剪切变形和臂根转动，可得单位载荷下的总张开量：柔度与裂纹长度的三次方成正比。

求导后代入柔度公式。固定载荷时，能量释放率与裂纹长度的平方成正比；载荷不变而臂高加倍，它降到八分之一。第三章会用同一结果在夹头固定时的形式，说明这种试样为什么会稳定地撕开。

C=\frac{8a^3}{EBh^3},\qquad G=\frac{P^2}{2B}\cdot\frac{24a^2}{EBh^3}=\frac{12P^2a^2}{EB^2h^3}

实验怎样求斜率，又怎样检查

Griffith 裂纹扩展实验把每种试样在有限元网格上只解一次，裂纹所在平面是一排可以张开的节点。程序对每个裂尖位置算出柔度，再沿裂纹长度做中心差分。中心裂纹平板由远端均匀应力加载，长条和边缺口试样由刚性夹头夹持。

两项检查给出误差范围。第一项只用“把裂尖节点按住所需的力”和“裂尖后一个单元处的张开量”做局部估计，它与柔度斜率相差不到 0.32%。第二项针对有限宽板中的中心裂纹：网格加密时，斜率逐步逼近应力分析手册里的正割公式。裂纹半长为板半宽一半时，沿半宽分别取 32、64、128 个单元，两者之比依次为 0.976、0.987、0.994。手册公式按 Sargado、Welch 和 Lüthje 2022 年论文中的转引取用。

G_{\rm local}\approx\frac{R_{\rm tip}\,v_{\rm behind}}{\Delta a},\qquad G_{\rm ref}=\frac{\pi\sigma^2a}{E}\left(1-0.025\lambda^2+0.06\lambda^4\right)^2\sec\frac{\pi\lambda}{2},\quad \lambda=\frac{a}{W}

带着问题动手

先预测，再改变，最后解释

在 Griffith 裂纹扩展实验里选“夹紧长条匀速撕开”。先预测：裂纹沿长条前进时，能量释放率曲线是什么形状？
换成平板预设，比较同一条曲线的形状。
用柔度斜率和加载方式，解释长条的曲线为什么是平的，平板的为什么一路上升。

让裂纹扩展，追踪外力做功的去向测量模量与屈服应力

断裂实验运行的是无量纲单位下的简化二维模型。每个实验在模型说明里写明模型、单位和适用范围，并可导出读数背后的记录。

试着自己解释

1. 夹头固定时，裂纹扩展会让储存的弹性能增加还是减少？

展开答案与解释

减少。夹头不做功，流到裂尖的能量全部来自储存的弹性能。

2. 固定载荷的双悬臂梁，裂纹长度加倍，能量释放率怎样变化？

展开答案与解释

它与裂纹长度的平方成正比，变成原来的四倍。

3. 测柔度时，每个裂纹长度都多出同一个常数误差。这会改变能量释放率吗？

展开答案与解释

不会，常数偏移在求斜率时消掉了。会影响结果的是随裂纹长度变化的误差，比如随载荷增大的夹头打滑。

可以放在旁边读的来源

Bouchbinder, Fineberg & Marder, Dynamics of Simple Cracks, arXiv:0911.0173; Annual Review of Condensed Matter Physics 1, 371–395 (2010)
第 1 节方程（1）至（3）用刚性夹紧的长条定义 Griffith 点和单位面积表面能。第 2 节写明能量平衡、裂尖附近按距离平方根倒数增长的应力、能量释放率与应力强度因子的关系、局部对称原则，以及线弹性断裂力学的适用前提。综述还报告 PMMA 和玻璃中约在 0.4 倍 Rayleigh 波速出现微分叉。第 3 节讨论裂尖处的小尺度，包括内聚区和相场模型。课程引用这些结论，不使用综述中的数据。
Sargado, Welch & Lüthje, Approximate formulas for the energy release rate of a crack perpendicular to a material interface, arXiv:2210.06315v1 (2022)
方程（1）至（3）重述大平板中心裂纹释放的能量和能量释放率，并给出平面应力与平面应变下的有效模量。方程（29）转引 Tada、Paris 和 Irwin 的中心裂纹有限宽度正割修正。课程把它作为中心裂纹基准的参考值。1973 年的手册原文没有查阅。