先把测试问题定死
试样是平面应变的单位正方形，杨氏模量为一，泊松比 0.3。一条长二分之一的直缺口从左边沿中线伸进来。上下边由刚性夹头夹住并向两侧拉开，张开量指两个夹头的相对位移。长度以边长为单位，每单位厚度的能量以模量乘边长平方为单位。
断裂能在这套单位下取千分之一。相场计算用第五章的 AT2 模型，带拉伸能分解和历史场；缺口上的损伤固定为一。网格沿高度方向渐变，中线附近的单元是长度参数的一半。
用另算的尖锐裂纹给出预测
预测走的是与相场求解器不同的程序路径：第二章的尖锐裂纹有限元模型，沿宽度取 64 个单元。以中线为镜面，方块变成夹在刚性夹头之间、只张开一半的边缺口半试样。它在缺口长度处每单位夹头位移平方的能量释放率，由柔度斜率求出。
断裂能用相场网格对一条直带实际收取的值，单元为长度参数一半时是名义值的 1.031 倍；不做这个修正，预测会低 1.5%。把尖锐裂纹网格加密到 128 个单元，预测只变 0.04%。
把起裂量成一个区间
相场计算里没有“裂纹此刻开始”的单一瞬间。夹头反力先上升，在缺口前方损伤集中时达到峰值，损伤带形成并扩展后回落。记录两个张开量：反力峰值处的张开量，以及完全损伤区（损伤不小于 0.9）越过缺口两个长度参数时的张开量。
三次计算的长度参数取 0.05、0.035、0.025，网格每边 40、57、80 个单元，起裂附近的加载步长为预测值的 0.005 倍。反力峰值分别出现在预测张开量的 0.820、0.785、0.775 倍；裂纹长出两个长度参数时，分别是 1.230、1.195、1.165 倍。每个区间都包含预测值，带宽变窄时区间上端向它靠拢；下端却没有，反力峰值反而略微远离预测。
第五章的特征长度说明了区间为什么宽：三次计算里它分别是缺口长度的 0.95、0.66、0.47 倍。强度长度和缺口相当时，缺口前方早在尖锐裂纹起裂之前就已软化；这个比值变小，尖锐裂纹的图像才逐渐准确。
完整例题
逐项列出误差来源与大小
尖锐裂纹能量释放率：网格从 64 加密到 128 个单元，预测变化 0.04%。同一求解器在这个分辨率下与手册给出的中心裂纹值相差不到 2%，128 个单元时不到 1%。
离散断裂能：已在同一网格上实测并计入，能量修正 3.1%，预测随之移动 1.5%。加载步长：张开量的分辨率是预测值的 0.005 倍。交替求解：每个加载步迭代到损伤变化小于万分之一，最多 80 次。
模型形式：有限长度参数是最大的一项，在这些设置下达到几十个百分点，所以结果只能报告为区间。再把长度参数减半，就要更细的网格，单元数变为四倍。
原始记录、版本与重算
基准计算保存了每个长度参数下每一步的张开量与预测值之比、反力和裂尖位置。准静态模型的版本标记为 fr28-quasi-static-2026-10-29。计算是确定性的，不用随机种子。默认运行覆盖两个较大的长度参数，约三分钟；完整运行再加上最小的那个，约八分钟。
各结论的性质：尖锐裂纹能量释放率是数值结果，已用长条解析极限和已发表的手册公式检验；相场区间是这个模型的数值结果。长度参数继续减小时，区间下端是否收敛，仍未解决。
带着问题动手
先预测，再改变，最后解释
- 在相场裂纹实验里启动拉伸预设，先预测反力峰值会落在尖锐裂纹虚线的哪一侧。
- 把带宽滑块从 0.08 调到 0.03，重新加载。
- 用特征长度与缺口长度之比，解释为什么有的设置下峰值和虚线更接近。
断裂实验运行的是无量纲单位下的简化二维模型。每个实验在模型说明里写明模型、单位和适用范围，并可导出读数背后的记录。
试着自己解释
1. 预测为什么用相场网格上的离散断裂能，不用名义值？
展开答案与解释
因为相场计算对一条直裂纹实际收取的就是离散值。用它才能同类相比；不用它，网格误差会混进比较，预测还会低 1.5%。
2. 反力峰值出现在预测张开量的 0.78 倍，是否说明尖锐裂纹预测错了 22%？
展开答案与解释
不是。峰值标志的是缺口前方的软化，不是裂纹扩展。特征长度和缺口相当时，软化来得早。检验预测要看它是否落在区间内，以及长度参数变小时区间是否收窄。
3. 几何不变时，起裂张开量与断裂能的平方根成正比。断裂能加倍，预测张开量是多少？
展开答案与解释
变为根号 2 倍，从 0.0408 升到约 0.0577 个边长。
可以放在旁边读的来源
- Bouchbinder, Fineberg & Marder, Dynamics of Simple Cracks, arXiv:0911.0173; Annual Review of Condensed Matter Physics 1, 371–395 (2010)
第 1 节方程（1）至（3）用刚性夹紧的长条定义 Griffith 点和单位面积表面能。第 2 节写明能量平衡、裂尖附近按距离平方根倒数增长的应力、能量释放率与应力强度因子的关系、局部对称原则，以及线弹性断裂力学的适用前提。综述还报告 PMMA 和玻璃中约在 0.4 倍 Rayleigh 波速出现微分叉。第 3 节讨论裂尖处的小尺度，包括内聚区和相场模型。课程引用这些结论，不使用综述中的数据。
- Sargado, Welch & Lüthje, Approximate formulas for the energy release rate of a crack perpendicular to a material interface, arXiv:2210.06315v1 (2022)
方程（1）至（3）重述大平板中心裂纹释放的能量和能量释放率，并给出平面应力与平面应变下的有效模量。方程（29）转引 Tada、Paris 和 Irwin 的中心裂纹有限宽度正割修正。课程把它作为中心裂纹基准的参考值。1973 年的手册原文没有查阅。
- Tanné, Li, Bourdin, Marigo & Maurini, Crack nucleation in variational phase-field models of brittle fracture, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 110, 80–99 (2018); preprint hal-01568702
第 2 节给出 AT2 能量（方程 2 取 AT2 形式）、特征长度以及临界应力强度因子与断裂能的关系（方程 5），表 1 给出均匀杆强度。第 3.1 节方程（7）至（11）给出 V 形缺口的奇异场；缺口闭合成裂纹时，其幅值就是 I 型应力强度因子。第 4 节通过尺寸效应把正则化长度当作材料长度。基准 B4 用表 1 检验浏览器模型的均匀杆强度。
- Jeong, Signetti, Han & Ryu, Phase field modeling of crack propagation under combined shear and tensile loading with hybrid formulation, arXiv:1807.03151v2 (2018)
第 2 节方程（7）至（14）重述了 Miehe 等人的各向同性与谱分解相场模型、阻止愈合的历史场，以及 Ambati 等人的混合模型：应力整体削弱，只让拉伸能驱动损伤。课程的这些方程取自这份重述，没有查阅 Miehe 等人（2010）和 Ambati 等人（2015）的原文。实验室省略了混合模型中“压缩能占优处不得产生损伤”这一附加条件。