L2 · 第 3 章

扩展中的裂纹什么时候不会失控

裂纹开始扩展以后，如果能量释放率随裂纹变长而下降，每往前一步都要再加一点载荷，扩展就受控；如果能量释放率反而上升，每一步都让下一步更容易，裂纹就会失控。上升还是下降，取决于试样形状，也取决于固定的是载荷还是夹头位置。

Sandbox Physics · 2026-10-29

比较两条曲线的斜率

起裂那一刻，能量释放率等于断裂能。加载装置保持原样，让裂纹再前进一点：若能量释放率降到断裂能以下，裂纹停下来等更多载荷；若仍然高于断裂能，裂纹就继续跑。

断裂能如果不随扩展量变化，稳定与否只看能量释放率沿裂纹长度的斜率是正是负。有些材料的阻力随扩展上升，更不容易失控，但比较的方法相同。

\left.\frac{\partial G}{\partial a}\right|_{P}<\frac{dG_c}{da}\qquad\qquad\left.\frac{\partial G}{\partial a}\right|_{\Delta}<\frac{dG_c}{da}

完整例题

同一根梁：夹头固定时稳稳撕开，挂上重物就一断到底

第二章算过，固定载荷的双悬臂梁，能量释放率与裂纹长度的平方成正比，斜率为正。挂一个重物让裂纹起裂，它会一直撕穿整根梁。

改成固定总张开量。载荷等于张开量除以柔度，柔度又随裂纹长度的三次方增长，代入后能量释放率随裂纹长度的四次方下降。这时每前进一步都要把夹头再拉开一些，裂纹停下的长度只按张开量的平方根增长。

P=\frac{\Delta}{C}\ \Rightarrow\ G=\frac{3}{16}\frac{E\,\Delta^2h^3}{a^4},\qquad a_{\rm arrest}=\left(\frac{3E\,\Delta^2h^3}{16\,G_c}\right)^{1/4}\propto\Delta^{1/2}

夹紧的长条在一个固定张开量下撕开

把长条的上下边夹住，再把夹头拉开。长裂纹前方很远处，材料被均匀拉伸；后方很远处，上下两半已不受力。裂纹前进一个单位长度，就有一片均匀拉伸的材料变成不受力的材料。能量释放率等于这一片原来储存的能量，与裂纹长度无关。

Bouchbinder、Fineberg 和 Marder 正是用这种几何定义 Griffith 点：理想脆性长条一直承载，直到夹头张开量达到某个临界值，然后一分为二。平面应变下，裂纹前方的材料按单轴应变的刚度储能。实验里的有限元解在裂纹长度为半高的二到六倍之间，与这一平台值相差不到 0.1%。Karma 和 Lobkovsky 的快裂纹模拟也这样加载，只是长条受的是面外剪切，平台值变成剪切模量乘夹头位移的平方，再除以半宽。

G=\frac{(\lambda+2\mu)\,\Delta^2}{h}

裂纹失控时，多出来的能量去了哪里

在准静态计算里，失控的裂纹放出的能量比新表面需要的多，实验把这部分差额显示为“多余能量”。真实物体中，它变成运动材料的动能和弹性波，第七章会接着讨论。

实验把三种情形并排给出。恒定应力下的中心裂纹平板在与预测相差不到 2% 的载荷下起裂，随后一路扩展；裂纹停在建模平板边缘时，载荷做的功约 31% 是多余能量，约 6% 用来造表面，其余仍储存在板里。夹紧长条里的长裂纹把 95% 的功变成表面能，多余能量不到 1%。刚性夹头之间的边缺口随张开量逐步扩展，多余能量也不到 1%。

带着问题动手

先预测，再改变，最后解释

在 Griffith 裂纹扩展实验里，先预测哪个预设留下的多余能量最多：平板、夹紧长条，还是边缺口？
把每个预设都跑到载荷爬升结束，读柱状图里储存能、表面能和多余能量的比例。
把每个结果和该试样的能量释放率曲线斜率对应起来。

让裂纹扩展，追踪外力做功的去向

断裂实验运行的是无量纲单位下的简化二维模型。每个实验在模型说明里写明模型、单位和适用范围，并可导出读数背后的记录。

试着自己解释

1. 固定张开量的双悬臂梁，裂纹停在 40 毫米。张开量再增加 21%，裂纹停在哪里？

展开答案与解释

停止长度与张开量的平方根成正比。1.21 的平方根是 1.1，裂纹停在 44 毫米。

2. 夹紧长条的高度加倍，夹头位移不变，稳态能量释放率怎样变化？

展开答案与解释

减半。裂纹前方的应变减半，能量密度降到四分之一；被拉伸的那一片却高了一倍。

3. 恒定应力下平板里的中心裂纹，为什么应力不再增加也会失控？

展开答案与解释

固定应力时，它的能量释放率随裂纹长度增长。一旦等于断裂能，每前进一步都让能量释放率超出得更多。

可以放在旁边读的来源

Bouchbinder, Fineberg & Marder, Dynamics of Simple Cracks, arXiv:0911.0173; Annual Review of Condensed Matter Physics 1, 371–395 (2010)
第 1 节方程（1）至（3）用刚性夹紧的长条定义 Griffith 点和单位面积表面能。第 2 节写明能量平衡、裂尖附近按距离平方根倒数增长的应力、能量释放率与应力强度因子的关系、局部对称原则，以及线弹性断裂力学的适用前提。综述还报告 PMMA 和玻璃中约在 0.4 倍 Rayleigh 波速出现微分叉。第 3 节讨论裂尖处的小尺度，包括内聚区和相场模型。课程引用这些结论，不使用综述中的数据。
Karma & Lobkovsky, Unsteady crack motion and branching in a phase-field model of brittle fracture, Physical Review Letters 92, 245510 (2004); arXiv:cond-mat/0401056
arXiv 版本的方程（1）至（7）定义反平面相场模型、无量纲单位和流向裂尖的能量，其中方程（5）是稳态能量平衡。图 3 给出三种载荷下的路径：短暂分叉后的直裂纹、蛇形路径和混乱分叉。课程用格点离散在相同名义参数下重算，只比较路径形状。