L3 · 第 5 章

把裂纹写成一条窄窄的损伤带

用一个损伤场代替尖锐裂纹：裂纹上取一，离开裂纹后在很短的距离内降到零。总能量包括弹性能和分布在这条带上的断裂能，其中弹性能在受损处被削弱。让这个能量最小，就同时决定了起裂、扩展和路径。长度参数趋于零时，这条带每单位裂纹长度的代价正好是 Griffith 断裂能。

Sandbox Physics · 2026-10-29

把裂纹摊成一条带

给每一点一个介于零和一之间的损伤值，零表示完好，一表示断开。弹性能密度乘一个退化函数：损伤从零变到一，它从一降到几乎为零。保留一点很小的残余刚度，完全断开处的方程才不会失去解。

断裂能分两项收取：一项惩罚损伤本身，一项惩罚损伤的梯度，长度参数决定两者如何搭配。这就是 Tanné 等人研究的 AT2 模型。Bouchbinder、Fineberg 和 Marder 把相场模型列为给裂尖引入内在长度的一类方法。

\mathcal E[u,d]=\int_\Omega\Big[\big((1-d)^2+k\big)\,\psi(\varepsilon)+\frac{G_c}{2}\Big(\frac{d^2}{\ell}+\ell\,|\nabla d|^2\Big)\Big]\,dA

完整例题

验算一条直带正好花掉断裂能

取一条直裂纹，沿垂直方向看过去。只对断裂项求最小，得到的损伤剖面随离裂纹的距离按指数衰减（Bourdin、Francfort 和 Marigo 给出了这个最优剖面），衰减长度就是长度参数。把它代回两项断裂能并在带上积分，两项各贡献一半，加起来正好是每单位裂纹长度的断裂能。

正因如此，长度参数趋于零时，正则化模型回到 Griffith 能量平衡。网格只能近似分辨这条带。实验所用模型里，单元尺寸取长度参数的 1、1/2、1/4 时，一条完全断开的直带分别花掉断裂能的 1.118、1.031、1.008 倍。第六章的起裂预测用的就是所在网格上实测的这个比值。

d(x)=e^{-|x|/\ell}\ \Rightarrow\ \frac{G_c}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\Big(\frac{d^2}{\ell}+\ell\,d'^2\Big)dx=\frac{G_c}{2}(1+1)=G_c

带有宽度，强度就有限

拉一根没有缺口的均匀杆。AT2 模型里，应力先上升，然后损伤布满整根杆，应力回落。峰值应力有限，并且取决于长度参数。Tanné 等人在表 1 里给出这个值，以及由断裂能、模量和强度组成的特征长度。

长度参数也就不只是数值技巧：它缩小，强度按其平方根的倒数升高；若按实测强度来定，它就成了材料长度。取单位模量、断裂能千分之一、长度参数 0.05，公式给出强度 0.0459；浏览器模型中均匀杆的峰值与之相对相差百万分之 1.5。

\sigma_c=\frac{3}{16}\sqrt{\frac{3G_cE'}{\ell}},\qquad \ell_{\rm ch}=\frac{G_cE'}{\sigma_c^2}=\frac{256}{27}\,\ell

模型离不开的三条规则

损伤不能自己愈合。实验用每一点迄今达到过的最大拉伸能驱动损伤，卸载后裂纹仍留在原处。这份记忆就是 Miehe 等人的历史场；Tanné 等人则规定损伤在加载步之间不能减小。关掉这份记忆，载荷下降时损伤带会缩回去，真实裂纹不会这样。基准计算里，有记忆的裂纹卸载后保住全部表面，没有记忆的则退回初始缺口。

压缩不能把材料压断。实验按主应变的正负拆分应变能，只让拉伸部分驱动损伤，应力则整体削弱。这种混合做法由 Ambati 等人提出，它没有严格的能量平衡：在最细的加载步长下，整体功的平衡在拆分时约差 1%，不拆分时差 0.07%。

网格要分辨得出这条带。单元远大于长度参数时，带的能量偏高，路径还会顺着网格线走。实验网格每边 40 个单元，单元尺寸始终小于滑块允许的最小长度参数。

没有路径规则，也有路径

能量里没有任何一项规定方向，路径是在求最小值时自己出来的。拉伸带缺口的方块，损伤带笔直穿过；改成剪切，损伤带向下转向角落；在缺口附近放一个圆孔，损伤带会拐进圆孔，因为那里应力更高，而且已经有一段现成的“裂纹”。

这些都是定性检查。剪切下的转角是否符合局部对称原则，实验没有检验；那需要比浏览器模型细得多的网格和更小的长度参数。

带着问题动手

先预测，再改变，最后解释

在相场裂纹实验里，先预测：把方块从拉伸改成剪切，损伤带往哪边转？
在拉伸、剪切、圆孔三个预设之间切换，再用滑块调小长度参数。
用拉伸能最大的位置解释每条路径。再看长度参数改变时，反力峰值相对尖锐裂纹虚线的位置怎样移动。

看损伤带自己选路

断裂实验运行的是无量纲单位下的简化二维模型。每个实验在模型说明里写明模型、单位和适用范围，并可导出读数背后的记录。

试着自己解释

1. 其他条件不变，长度参数减半，均匀杆强度怎样变化？

展开答案与解释

变为根号 2 倍，约 1.41 倍，因为强度与长度参数平方根的倒数成正比。

2. 为什么单元尺寸不应超过长度参数？

展开答案与解释

那样一条带只由很少几个单元表示，离散后的能量明显高于断裂能，在这个模型里单元等于长度参数时约高 12%，路径还可能被网格线锁住。

3. 试样加载到裂纹扩展后再卸载。有无不可逆约束时，卸载后的损伤场各是什么样？

展开答案与解释

有不可逆约束时，裂纹保持原有长度。没有时，损伤退回初始缺口附近，因为卸载后的弹性能已经撑不住这条带。

可以放在旁边读的来源

Bouchbinder, Fineberg & Marder, Dynamics of Simple Cracks, arXiv:0911.0173; Annual Review of Condensed Matter Physics 1, 371–395 (2010)
第 1 节方程（1）至（3）用刚性夹紧的长条定义 Griffith 点和单位面积表面能。第 2 节写明能量平衡、裂尖附近按距离平方根倒数增长的应力、能量释放率与应力强度因子的关系、局部对称原则，以及线弹性断裂力学的适用前提。综述还报告 PMMA 和玻璃中约在 0.4 倍 Rayleigh 波速出现微分叉。第 3 节讨论裂尖处的小尺度，包括内聚区和相场模型。课程引用这些结论，不使用综述中的数据。
Tanné, Li, Bourdin, Marigo & Maurini, Crack nucleation in variational phase-field models of brittle fracture, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 110, 80–99 (2018); preprint hal-01568702
第 2 节给出 AT2 能量（方程 2 取 AT2 形式）、特征长度以及临界应力强度因子与断裂能的关系（方程 5），表 1 给出均匀杆强度。第 3.1 节方程（7）至（11）给出 V 形缺口的奇异场；缺口闭合成裂纹时，其幅值就是 I 型应力强度因子。第 4 节通过尺寸效应把正则化长度当作材料长度。基准 B4 用表 1 检验浏览器模型的均匀杆强度。
Bourdin, Francfort & Marigo, The variational approach to fracture, Journal of Elasticity 91, 5–148 (2008)
第 8.1 节方程（8.2）写出用于断裂数值计算的 Ambrosio–Tortorelli 能量；把其中的正则化参数取为课程长度参数的一半，就是第五章的 AT2 能量。注 8.2 给出横跨裂纹的指数型最优剖面。同一节还估计了裂纹占据一条完全断开的单元带时，线性单元网格会把等效韧性抬高多少；第 8.1.2 节在离散层面施加不可逆条件。
Jeong, Signetti, Han & Ryu, Phase field modeling of crack propagation under combined shear and tensile loading with hybrid formulation, arXiv:1807.03151v2 (2018)
第 2 节方程（7）至（14）重述了 Miehe 等人的各向同性与谱分解相场模型、阻止愈合的历史场，以及 Ambati 等人的混合模型：应力整体削弱，只让拉伸能驱动损伤。课程的这些方程取自这份重述，没有查阅 Miehe 等人（2010）和 Ambati 等人（2015）的原文。实验室省略了混合模型中“压缩能占优处不得产生损伤”这一附加条件。