动态相场模型中的快裂纹与分叉

快速运动的裂纹带着动能和弹性波；速度超过某个极限后，单条直裂纹就不再是稳态解。在 Karma 和 Lobkovsky 的相场模型里，载荷升高，直裂纹先变成蛇形路径，再变成混乱分叉。按他们的名义参数重算的格点模型，复现了直裂纹和来回摆动的路径，却没有复现裂尖分叉；把长条宽度减半，它才分成两支。

Sandbox Physics · 2026-10-29

实验看到了什么

Bouchbinder、Fineberg 和 Marder 总结过这些测量。单条裂纹会加速，逼近由 Rayleigh 表面波速决定的极限速度。在 PMMA 和玻璃里，直到约 0.4 倍 Rayleigh 波速，裂纹运动都符合线弹性断裂力学的运动方程；两者的 Rayleigh 波速分别约为每秒 930 米和 3300 米。

接近这个速度时，单条裂纹对微分叉失稳：短短的侧枝不断冒出又停下，速度来回振荡，断面变得粗糙。综述指出，这种失稳的起点至今没有第一性原理理论；带黏聚区的数值研究里，微分叉是否出现还取决于网格尺寸。

带惯性的相场模型

Karma 和 Lobkovsky 写出反平面位移和相场的能量，相场在完好材料中为一，在断开材料中为零。弹性项乘一个插值函数削弱，并减去一个临界应变，应变超过它时断开状态能量更低。位移满足用削弱后应力写出的波动方程，相场则以有限速率向能量更低的方向弛豫。

以过程区尺寸为长度单位、以它除以剪切波速为时间单位，模型只剩两个参数：一个决定无量纲表面能，另一个比较弛豫时间和波穿过过程区所需的时间。半宽为 W 的长条由反向位移的夹头加载，能量释放率与裂纹长度无关，和第三章的夹紧长条一样。

E=\int\!\Big[\frac{\rho}{2}\dot u^2+\frac{\kappa}{2}|\nabla\phi|^2+h\,f(\phi)+\frac{\mu}{2}g(\phi)\big(|\nabla u|^2-\epsilon_c^2\big)\Big]dx\,dy,\quad f=16\phi^2(1-\phi)^2,\quad g=4\phi^3-3\phi^4,\quad G=\frac{\mu\Delta^2}{W}

完整例题

先查能量流，再读路径

他们 arXiv 版本的方程（5）说：裂纹匀速运动时，能量释放率超出断裂能的部分乘速度，等于相场耗散能量的速率。格点模型复现这一平衡，相差 3.1%。整个计算过程中，外力做的功与储存能、动能、耗散能之和相差 2.6%、1.5%、0.8%，对应时间步长两次减半。

有一处差别影响后面所有比较。格点间距取过程区尺寸的一半时，断开一整行格点所需的能量是连续介质值的 1.262 倍；间距取 0.4 时是 1.202 倍。种子裂纹在格点值的 0.9 倍载荷下愈合，在 1.1 和 1.3 倍下分别以剪切波速的 0.17 和 0.25 倍运动。以连续介质断裂能标定的载荷，换算到格点实际收取的断裂能时要打个折扣。

v\,(G-G_c)=\chi^{-1}\int\dot\phi^{\,2}\,dx\,dy,\qquad \frac{G_c^{\rm lattice}}{G_c}=1.262\ \ (\Delta x=0.5\,\xi)

按图 3 的名义参数重算

Karma 和 Lobkovsky 的图 3 用半宽为 30 个过程区尺寸的长条，弛豫参数取 2，载荷为连续介质断裂能的 1.56、1.86、2.90 倍。三幅图依次是带短暂分叉的直裂纹、微弱的周期性“蛇形”，以及混乱分叉。他们还报告，蛇形的周期接近四个半宽除以波速。

格点重算采用相同的半宽、弛豫参数和载荷，间距 0.4，直种子裂纹长 30，并加入很小的随机阈值起伏来打破对称。载荷 1.56 时裂纹保持笔直，横向散布 0.11；1.86 时单条裂纹来回摆动，散布 1.26；2.90 时摆得更厉害，散布 2.57，但没有分叉。路径随载荷变乱这一点定性一致，分叉没有复现。

已知的差别有三处。这个间距下格点收取的断裂能是连续介质值的 1.20 倍，载荷实际只相当于 1.30、1.55、2.41。Karma 和 Lobkovsky 从弛豫后的静止裂纹出发，论文没有给出它的长度。正方格点还有连续介质没有的优先方向。实验页面用的长条更窄，半宽 15、间距 0.5，载荷 2.90 时裂尖确实分成对称的两支，1.56 时裂纹笔直前进。究竟哪一处差别控制格点里的分叉，仍未解决。

先预测，再改变，最后解释

在动态裂纹分叉实验里，先预测：从“稳态直裂纹”换到“对称分成两支”，路径会怎样变化？

把载荷从约 1.5 拖向 3，同时看速度读数和裂尖后方的路径。

把变化和裂尖在给定速度下必须耗散的能量联系起来，并说出你会拿路径的哪些特征去和 Karma 与 Lobkovsky 的图 3 比较。

断裂实验运行的是无量纲单位下的简化二维模型。每个实验在模型说明里写明模型、单位和适用范围，并可导出读数背后的记录。

试着自己解释

1. 实验里一条裂纹以剪切波速的 0.2 倍运动，无量纲多余驱动为 0.1。能量平衡预测的耗散率是多少？

展开答案与解释

速度乘多余驱动，0.2 乘 0.1，等于 0.02（同一单位）。相场耗散积分应在模型误差内给出同样的值。

2. 间距 0.5 的格点上，为什么连续介质断裂能 1.1 倍的载荷不足以让裂纹跑起来？

展开答案与解释

格点收取的是连续介质值的 1.262 倍。1.1 只相当于格点所需的约 0.87 倍，种子裂纹会愈合。

3. Karma 和 Lobkovsky 把蛇形周期与“四个半宽除以波速”联系起来。半宽为 30 时，按无量纲单位应预期多长的周期？

展开答案与解释

4 乘 30 再除以 1，即 120 个无量纲时间单位。

可以放在旁边读的来源

Bouchbinder, Fineberg & Marder, Dynamics of Simple Cracks, arXiv:0911.0173; Annual Review of Condensed Matter Physics 1, 371–395 (2010)

第 1 节方程（1）至（3）用刚性夹紧的长条定义 Griffith 点和单位面积表面能。第 2 节写明能量平衡、裂尖附近按距离平方根倒数增长的应力、能量释放率与应力强度因子的关系、局部对称原则，以及线弹性断裂力学的适用前提。综述还报告 PMMA 和玻璃中约在 0.4 倍 Rayleigh 波速出现微分叉。第 3 节讨论裂尖处的小尺度，包括内聚区和相场模型。课程引用这些结论，不使用综述中的数据。

Karma & Lobkovsky, Unsteady crack motion and branching in a phase-field model of brittle fracture, Physical Review Letters 92, 245510 (2004); arXiv:cond-mat/0401056

arXiv 版本的方程（1）至（7）定义反平面相场模型、无量纲单位和流向裂尖的能量，其中方程（5）是稳态能量平衡。图 3 给出三种载荷下的路径：短暂分叉后的直裂纹、蛇形路径和混乱分叉。课程用格点离散在相同名义参数下重算，只比较路径形状。