断裂力学 · 动态相场

拉紧长条里的动态裂纹分叉

跑得快的裂纹，为什么会分叉或左右摇摆，而不是一直走直线？ 跑得快的裂纹拿到的能量，一条直路吸收不完。载荷超过某个阈值，多出的能量喂给侧向分支，裂纹就一分为二；材料强度里冻结的起伏把它推向两侧，单条裂纹也会摇摆。

在拉紧的长条里驱动一条反平面裂纹。载荷低时裂纹匀速直行，载荷高时一分为二，冻结无序让路径变粗糙。

模型假设

Karma 与 Lobkovsky 的 III 型相场模型，标度单位，方格点阵间距 0.5，长条半宽 15，阻尼 2，不加额外双势阱。这个间距下点阵断裂能约为连续值的 1.26 倍，所以载荷同时相对两者显示。分叉阈值依赖宽度、间距和随机种子；这里是定性复现，不是论文原图。

裂尖速度 / 剪切波速

0.25

载荷 / 点阵韧性

1.24

出现两支的断开列比例

0\%

路径横向摆幅

0

两张图都来自模拟点阵。长度以过程区尺度为单位，时间以该尺度除以剪切波速为单位。

保存这次运行，查看模型

JSON 列出设置、种子、模型版本、速度记录、路径统计和本次运行的全部断开格点。

模型和长条几何采用 Karma 与 Lobkovsky 2004 年的设置。他们发表的分叉相图用的长条更宽、点阵更细。阅读原文

先抓重点

E=\int\left[\frac{\rho}{2}\dot u^{2}+\frac{\kappa}{2}|\nabla\phi|^{2}+h\,f(\phi)+\frac{\mu}{2}\,g(\phi)\left(|\nabla u|^{2}-\epsilon_c^{2}\right)\right]dx\,dy

反平面位移 $u$ 携带动能和弹性能。相场 $\phi$ 在完好处为 1，断开处为 0。双势阱 $f$ 与软化函数 $g$ 决定断开状态。

G=\frac{\mu\Delta^{2}}{W},\qquad G_c=2\gamma

位于 $y=\pm W$ 处的夹头分别移动 $\pm\Delta$ 。裂尖前方很远处每单位长度储存这些能量，后方为零。Lab 同时给出相对连续介质韧性和点阵韧性的载荷。

v\,(G-G_c)=\chi^{-1}\int\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)^{2}d\mathbf x

移动裂尖每单位时间释放的能量，等于过程区里的耗散率。Lab 在稳态裂纹上检验这条平衡，误差在百分之几以内。

容易误解裂纹分叉只是因为材料不完美。

正确理解在这个模型里，完全均匀的长条超过阈值载荷也会分叉。无序改变细节，不改变失稳是否存在。

容易误解这里的阈值适用于真实材料。

正确理解Karma 与 Lobkovsky 的 III 型相场模型，标度单位，方格点阵间距 0.5，长条半宽 15，阻尼 2，不加额外双势阱。这个间距下点阵断裂能约为连续值的 1.26 倍，所以载荷同时相对两者显示。分叉阈值依赖宽度、间距和随机种子；这里是定性复现，不是论文原图。

快速裂纹的能量用不完