M012 · 牛顿接触力学

斜面与摩擦

速度归零后，滑块会停住还是反向？ 看静摩擦够不够。速度归零那一刻，算出平衡重力沿斜面分量和外力所需的摩擦力：没超过最大静摩擦，滑块就停住；超过了，它就朝合力方向重新滑动。

拖动粗糙斜面上的滑块，调整静、动摩擦系数和沿斜面的外力。比较停住、反向与持续滑动，再用静止释放相图和耗散曲线解释结果。

记录时刻 $0.372\,\mathrm{s}$

斜面向下坐标 $1.6\,\mathrm{m}$

相对斜面速度 $1.1\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

沿斜面加速度 $2.95\,\mathrm{m\,s^{-2}}$

滑块所受支持力 $8.32\,\mathrm{N}$

接触状态 $\text{下滑}$

向下为正的摩擦力 $-2.25\,\mathrm{N}$

静止可行余量 $-1.45\,\mathrm{N}$

实际动摩擦系数 $0.27$

滑块动能 $0.602\,\mathrm{J}$

重力势能变化 $-1.06\,\mathrm{J}$

外加力做功 $0\,\mathrm{J}$

摩擦力做功 $-0.458\,\mathrm{J}$

机械能变化 $-0.458\,\mathrm{J}$

记录结束时刻 $1.33\,\mathrm{s}$

能量守恒残差 $5.55\times10^{-17}\,\mathrm{J}$

先预测，再释放、检验

速度归零后，滑块会停住还是反向？

物理受力每次试验里，力箭头都用同一个固定比例。释放位置标出滑块在斜面上的初始相对坐标。底座所受接触反力显示接触处作用在底座上的反向支持力。坡角

\theta

32.00\,{}^{\circ}

滑块质量

m

1.00\,\mathrm{kg}

斜面释放位置比例

s_0/\ell

0.35\,

初始沿斜面速度

\dot s_0

0.00\,\mathrm{m/s}

沿斜面外力

F

0.00\,\mathrm{N}

静摩擦系数

\mu_s

0.45\,

动摩擦比例

\eta

0.60\,

动摩擦系数

\mu_k

0.27\,

检查记录时刻

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

拖动滑块或调节滑块控件，设置一次新试验。外力和速度以沿斜面向下为正。零相对速度时，静摩擦按需要提供力，直到上限；滑动时，摩擦阻碍相对运动。相图预测从静止释放的结果，已有初速度需要另外判断。两个系数控件保持动摩擦不大于静摩擦。图线为解析模型预测，记录在首个斜面端点或六秒时结束，不求解随后的碰撞和脱离。

模型假设

摩擦采用系数恒定的理想库仑模型，斜面固定且刚性。动摩擦系数限制在静摩擦系数以内。轨道长度有限，碰撞发生之前记录就结束。不考虑温度、形变和随速度变化的摩擦。

先抓重点

核心问题: 滑块停下以后，会留在原地，还是转身下滑？
一句话直觉: 速度归零时，静摩擦才有机会接手。需要的摩擦力没有超过上限，滑块就能停住。

核心数学模型

重力分量与沿斜面外力

N=mg\cos\theta,\qquad D=mg\sin\theta+F

坐标和外力都以沿斜面向下为正。外力只沿斜面作用，不改变法向载荷。

静止需要多少摩擦力

f_s=-D,\qquad |D|\le\mu_sN

静摩擦按需要提供力，直到达到上限。余量是上限减去需求大小；理想模型把恰好达到上限也计入可静止条件。

滑动时的摩擦

\begin{aligned}m\ddot s&=D-\mu_kN\operatorname{sgn}(\dot s)\\0&\le\mu_k\le\mu_s\end{aligned}

两个系数滑块分别控制静摩擦上限和动摩擦。如果把静摩擦系数降到比动摩擦系数还小，动摩擦系数会同步降到新上限，保持模型假设。速度归零时重新检查静止条件。

两次事件之间的运动

\begin{aligned}s&=s_a+v_a(t-t_a)+\tfrac12a(t-t_a)^2\\v&=v_a+a(t-t_a)\end{aligned}

每一段内的受力恒定。先遇到轨道端点还是后来的零速时刻，决定下一步如何处理。端点显示的是碰撞、脱离或倾覆发生前的状态。

耗散按总路程累积

\Delta K+\Delta U=F(s-s_0)-\mu_kN\int_0^t|\dot s|\,\mathrm dt

滑块反向前后，摩擦都消耗机械能，所以耗散按总路程累积。库仑模型不求解温度、形变或系数随速度的变化。

常见难点

静摩擦只提供所需的力

容易误解静摩擦力总等于最大值。

正确理解选“静摩擦保持”。实际摩擦只平衡沿斜面的驱动，剩余容量显示为正的静止余量。

停下以后还可能反向

容易误解速度归零，就会一直停在那里。

正确理解比较两个停止预设的零速时刻。能否继续静止，由所需摩擦力是否超过上限决定。

绿色区域回答的是静止释放

容易误解设置进入绿色区域，正在滑动的物体就必须立刻停下。

正确理解相图预测零初速释放的结果。已有初速度的滑块，即使设置落在绿色区域内，也可以继续滑动。

动手实验

01
先看默认下滑
观察滑块、橙色摩擦箭头和增长的耗散曲线。
你会看到： 滑块向下，摩擦力向上。
02
让静摩擦接手
选“静摩擦保持”。
你会看到： 摩擦力平衡沿斜面的驱动，滑块留在原地。
03
比较两种停止
依次选“停止并静止”和“停止并反向”，展开“功、约束与诊断”，点“精确零速度”。
你会看到： 两者都会到达零速度，之后一个停住，另一个开始下滑。
04
向上牵引
选“向上牵引”。
你会看到： 足够大的上坡外力改变了运动方向，摩擦箭头也随之改变。
05
看静止释放相图
调整坡角或外力，观察标记跨越运动区的边界。
你会看到： 零初速释放会有上滑、可静止和下滑三种结果；已有初速需要另外判断。
06
重新放置滑块
点“重置”，再沿斜面拖动滑块，或展开释放设置调节释放位置。
你会看到： 新试验从选定位置开始；“重放”只重放当前试验。

核心数学模型

重力分量与沿斜面外力

静止需要多少摩擦力

滑动时的摩擦

两次事件之间的运动

耗散按总路程累积

常见难点

静摩擦只提供所需的力

停下以后还可能反向

绿色区域回答的是静止释放

动手实验

先看默认下滑

让静摩擦接手

比较两种停止

向上牵引

看静止释放相图

重新放置滑块