光学 011 · 光线世界、界面与自然光学

彩虹焦散观测站

一颗水滴怎样同时产生主虹、霓和夹在其间的暗带？ 偏向角取驻值的地方，入射位置稍有变化，出射方向几乎不变，光就在那里扎堆。水滴里反射一次形成主虹，离太阳正对面那一点约 42 度；反射两次形成霓，约 51 度，颜色顺序相反。两者之间是 Alexander 暗带，反射一两次的光都射不到那个角度。

把一颗球形雨滴放大，逐次追踪每一次折射和内部反射，再把驻值子午光路旋转成三维散射锥。主虹和霓的彩色圆环之间夹着 Alexander 暗带；标量 Airy 探测器分辨出有限的焦散峰，以及随半径变化的附加虹。

所选散射结果

\Theta

$0.50$

角结构尺度

\Delta\Theta

$50\%$

光线或波动检验

\mathcal C

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型采用 IAPWS 水色散和球内的精确几何光线。附加虹场景用标量 Airy 折叠，不是完整的 Mie 散射。不考虑下落水滴的形变、太阳圆面造成的模糊、水滴大小的分布、多重散射和天空的绝对辐亮度。

物理教程

检验彩虹焦散观测站的物理过程

背景彩虹是一整族偏向光线形成的焦散，不是某一条选出来的光线。对球形水滴，子午面内的偏向函数为 $D_p(i)=p\pi+2i-2(p+1)r,\qquad \sin i=n(\lambda)\sin r$ 。其中阶次指标就是内部反射次数；每一段光路都由精确的球面交点和 Snell 折射决定。追迹之前，装置先按 IAPWS R9-97 算出每个波长下水的折射率。

为什么值得理解一颗水滴怎样同时产生主虹、霓和夹在其间的暗带？

先抓重点

核心问题: 一颗水滴怎样同时产生主虹、霓和夹在其间的暗带？
一句话直觉: 只有偏向函数取驻值的地方，冲量参数相邻的光线才会堆在一起： $\frac{\mathrm dD_p}{\mathrm di}=0,\qquad \cos^2 i_p=\frac{n^2-1}{p(p+2)}$ 。一次内部反射形成主虹，两次内部反射形成霓，霓的颜色顺序是反的。两条虹亮侧之间的角间隔，就是 Alexander 暗带。

核心数学模型

IAPWS 水色散

\frac{n^2-1}{n^2+2}\frac{1}{\bar\rho}=a_0+a_1\bar\rho+a_2\bar T+a_3\bar\lambda^2\bar T+\frac{a_4}{\bar\lambda^2}+\frac{a_5}{\bar\lambda^2-\bar\lambda_{\mathrm{UV}}^2}+\frac{a_6}{\bar\lambda^2-\bar\lambda_{\mathrm{IR}}^2}+a_7\bar\rho^2

装置把水固定在 20 摄氏度、每立方米 998.2 千克，在 400 至 700 纳米范围内计算公开的 Lorentz–Lorenz 公式。画面上的球面追迹和所有角度读数，用的都是这同一个折射率。

主虹与霓的驻值光线

D_p(i)=p\pi+2i-2(p+1)r,\qquad \frac{\mathrm dD_p}{\mathrm di}=0,\qquad \cos^2 i_p=\frac{n^2-1}{p(p+2)}

这里的 p 是内部反射次数。解析得到的驻值冲量参数，另用两种办法独立复核：偏向函数的有限差分导数，以及穿过球体的完整矢量追迹。

折叠焦散处的 Airy 波动修正

I(\Theta)\propto \operatorname{Ai}^2\!\left[-\frac{\Theta_R-\Theta}{\Delta\Theta_A}\right],\qquad \Delta\Theta_A=\left(\frac{|\Theta^{\prime\prime}(q_R)|}{2}\right)^{1/3}(ka)^{-2/3}

几何光学在驻值角给出发散的光线密度。标量 Airy 折叠理论把它换成一个有限主峰，后面跟着振荡的附加虹。水滴变大或波长变短，尺寸参数增大，条纹就挤得更密。要做精确的电磁预测，仍需 Mie 理论或复角动量理论。

常见难点

让彩虹光线穿过水滴中心

容易误解彩虹来自一条穿过水滴中心的代表光线；水滴变大变小，几何彩虹角也该跟着移动。

正确理解彩虹光线在远离中心的驻值冲量参数处射入。长度按半径归一化后，所有球的几何都一样，所以几何彩虹角与半径无关。半径通过波动相位重新起作用：它决定附加虹的间距，不决定 Descartes 角。

动手实验

01
场景 1：主虹散射锥
在主虹散射锥场景，固定半径，把波长从紫光扫到红光。沿一条光线依次看入射折射、内部反射和出射折射，再转动相机，看子午面内的光路怎样绕成一个圆锥。
你会看到： 水对红光的折射率更小，所以红色主虹的角半径更大。改变半径，画面中标明为放大显示的水滴随之变化，几何驻值角却不变。
02
场景 2：霓与 Alexander 暗带
进入霓场景，数清两次内部反射。在同一个角度屏上比较主虹和霓的颜色顺序，再读出 Alexander 暗带两侧的红色边界。
你会看到： 霓的颜色顺序反过来，红色在内缘。多出的一次内部反射，让这一支经过光滑界面后剩下的光更少。在这套低阶光线模型里，从主虹红边到霓红边之间的角区域保持黑暗。
03
场景 3：Airy 附加虹
在 Airy 场景，固定波长，把半径扫过整个范围。看有限的强度曲线和附加虹圆环怎样挤紧，并留意尺寸参数指示何时显示已离开 Airy 理论的定量适用区。
你会看到： 在折叠焦散的亮侧，两个不同冲量参数的光线到达同一角度。把它们的波动叠加，几何上的发散就变成一个 Airy 主峰和逐渐减弱的附加虹，间距符合预测的尺寸律。