光学 045 · 干涉、相干、光腔与精密测量

Michelson 精密测量台

怎样通过数条纹测量位移、波长与折射率？ 反射镜每挪半个波长，就走过一条条纹。波长已知，数条纹就得到位移；位移已知，反过来得到波长。往一臂的气室里充气会加长光程，走过的条纹数就给出折射率变了多少。只数条纹，看不出镜子往哪边走，方向要靠相移读数来判断。

在三维 Michelson 光学台上，光线与镜面的交点决定了直条纹和等倾圆环、固定曝光的功率图和四步相位扫描。可以分别测量位移、真空波长或双程气室中的折射率变化。

共同相机采样点／输出功率比例

u_p,p_-,p_+

$0.50$

反演有符号扫描周期／独立未知量

N_{\mathrm{scan}},\widehat{\Delta x},\widehat\lambda_0,\widehat{\Delta n}

$50\%$

测得调制度／扫描采样检查

V_p,\max|\Delta\phi_s|/\pi

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

Michelson 精密测量台

镜面位移

\Delta L

0.80\,\mu\mathrm m

样品池折射率变化

n

0\times10^{-6}

真空波长（不是空气内波长）

\lambda_0

632.80\,\mathrm{nm}

测量镜真实微倾角（零为平行）

\beta

0.060\,\mathrm{mrad}

平行虚镜轴向间距（圆环预设）

d_0

0\,\mathrm{mm}

曝光期间镜位移的高斯抖动标准差

\sigma_x

0\,\mathrm{nm}

共同探测截线采样点

u_p

0\,\mathrm{mm}

移动金色镜面，它的往返光路跟着移动，相机上的条纹随之平移。把倾角设为零，视场就变得均匀。试试平行镜角域预设，看圆环并标定波长；再试固定镜气室预设。每个扫描点做四次参考相移，就能得到带正负号的变化量。加入镜面 RMS 抖动，对比度会被冲淡。拖动可旋转视角；播放不会产生测量数据。

分束器理想、标量、平衡，暗端口偏置已标定，环境折射率固定且无色散，光束大范围重叠，参考相移理想。高斯抖动是系综平均，不是探测器噪声。图中镜面的微小位移放大了 4000 倍。不宣称仪器精度、绝对相位级次，也不做低相干扫描。

物理教程

检验Michelson 精密测量台的物理过程

背景光在每条臂里往返一次，在端镜上反射一回。对平行于光轴的光束，光程变化为 $\Delta\mathrm{OPL}=2n_0\Delta x+2L_g\Delta n$ 。青色和金色光路都终止在镜面上，再回到分束器重合。相机图像和采集扫描来自同一个相位模型；测量镜移动时，它那条光路的端点也跟着移动。

为什么值得理解怎样通过数条纹测量位移、波长与折射率？

先抓重点

核心问题: 怎样通过数条纹测量位移、波长与折射率？
一句话直觉: 沿扫描把相位展开，就得到带正负号的周期数： $N=\Delta\phi/(2\pi)$ 。单张强度图对正负相位一模一样，而且每个周期重复一次，看不出移动方向，也补不回缺失的整数级次。实验在每个扫描点加入四个标定过的参考相移。扫描从零变化开始，绝对相位并不提前给出。

核心数学模型

往返光程与空气内波长

\begin{aligned}N&=\frac{2n_0\Delta x+2L_g\Delta n}{\lambda_0}\\\lambda_{\mathrm{air}}&=\lambda_0/n_0\end{aligned}

光源用真空波长来设定。环境空气的相位折射率固定为 1.0002718；气室长 100 毫米，它的折射率变化以环境值为基准。两块窗片理想且固定不动。模型不计算气压、温度，也不计算随波长变化的 Ciddor 修正。

直条纹来自波前倾斜

\begin{aligned}\Delta_{\mathrm{plane}}(u)&=n_0\bigl[2\Delta x\cos^2\beta\\&\quad-2(L_0+D)\sin^2\beta+u\sin(2\beta)\bigr]\\&\quad+2L_g\Delta n\end{aligned}

测量镜倾斜一个角 beta。把它的镜面反射经分束器展开，输出光束就偏转两倍的角度。相位里因此出现沿相机横向变化的载频，外加一个很小的纵向修正。u 是相机上的水平坐标，输出沿实验台正方向传播。基准臂长 180 毫米，这台空间相机距分束器 145 毫米。倾角为零时，图像均匀。气室折射率变化与倾角之间的交叉项忽略不计。

圆环条纹出现在角域观察中

\begin{aligned}\phi(\theta)&=\frac{4\pi n_0(d_0+\Delta x)\cos\theta}{\lambda_0}\\\cos\theta&=\frac{f}{\sqrt{f^2+u^2+v^2}}\end{aligned}

波长预设加入理想的扩展角域照明，以及一块焦距 100 毫米的观察透镜，相机放在透镜后方 100 毫米的焦平面上。两面镜保持平行。一面镜与另一面镜虚像之间的间距，决定相位沿半径怎样变化。这些是等倾圆环，每一圈对应一个观察角，不是把直条纹画成了圆。间距和位移都为零时，角域图像均匀。用离轴点反演波长时，计入了余弦因子。

用四步相移恢复相位

\begin{aligned}p_{-,k}&=\frac{1-V\cos(\phi+k\pi/2)}2\\\phi_w&=\operatorname{atan2}(p_{-,1}-p_{-,3},\,p_{-,2}-p_{-,0})\\N&=\frac{\phi_u(1)-\phi_u(0)}{2\pi}\end{aligned}

理想参考执行器每次加四分之一周期的相移。反演只拿到四组强度采样，再把相邻扫描点的相位逐个展开。每次允许的扫描都有 257 个采样点，每步相位变化不到半个周期。测位移要先知道波长；测波长要有另外测定的位移；测气体折射率要知道波长和气室长度。位移为零时无法标定波长。绝对整数级次仍然未知。

振动抹掉对比度，功率不变

\begin{aligned}V&=\exp\!\left[-\frac12\left(\frac{4\pi n_0 g\sigma_x}{\lambda_0}\right)^2\right]\\p_-+p_+&=1\end{aligned}

噪声是镜面沿光轴的零均值高斯抖动，在长曝光内取平均。抖动投影到观察方向时，倾斜空间视图乘余弦平方，平行角域视图乘余弦。这里算的是解析的系综平均，不是随机动画，也不模拟光子噪声或读出噪声。对比度低于 0.05 时，实验不再报告测量值；这个阈值只是界面保护，不是精度指标。互补图是模型预测，不是第二台相机拍到的图。

常见难点

漂亮的圆环不等于测量

容易误解一张条纹照片能唯一读出位移、波长和气体折射率。

正确理解变化的正负号只能来自已知的扫描和已知的相移序列。每个预设只求一个未知量，其他量都要作为标定好的输入。理想模型正算和反算一致，并不说明真实仪器准确。这里不求解分束器色散、镀膜相位、有限孔径、光束剪切、衍射、相移误差、散粒噪声、漂移和低相干门控。

动手实验

01
场景 1：倾斜镜微位移
让金色镜面正向、反向移动。光路端点跟着镜面走，条纹平移，反演出的扫描周期数改变正负。再把倾角调到零，视场变得均匀。
你会看到： 实验台画出的是真实的中心反射光路。图中的镜面位移放大了 4000 倍，相位并没有跟着放大。
02
场景 2：等倾圆环波长标定
选择波长标定。增大虚镜间距，圆环变密；再离轴取样，反演出的真空波长仍然一致。把位移调到零，就无法标定了。
你会看到： 图像使用固定的线性灰度。镜面每移动半个波长，强度就回到原样，但累积的扫描相位继续变化。
03
场景 3：双程气室折射率测量
选择气室，这时镜面固定不动。先改变折射率，再加大抖动标准差。图像逐渐变成中灰，最后不再报告测量值。
你会看到： 按下播放不会凭空添加运动，也不改变静态结果。暂停时照样可以旋转视角、拖动滑块。扫描表示一次扫到当前设定的模拟扫动。

Michelson 精密测量台

检验Michelson 精密测量台的物理过程

核心数学模型

往返光程与空气内波长

直条纹来自波前倾斜

圆环条纹出现在角域观察中

用四步相移恢复相位

振动抹掉对比度，功率不变

常见难点

漂亮的圆环不等于测量

动手实验

场景 1：倾斜镜微位移

场景 2：等倾圆环波长标定

场景 3：双程气室折射率测量

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