光学 045 · 干涉、相干、光腔与精密测量

Michelson 精密测量台

联动的三维 Michelson 台把真实镜面交点同直条纹、等倾圆环、固定曝光功率图和四步测得相位扫描相连。分别测量位移、真空波长或双程气室折射率变化。

共同相机采样点／输出功率比例

u_p,p_-,p_+

$0.50$

反演有符号扫描周期／独立未知量

N_{\mathrm{scan}},\widehat{\Delta x},\widehat\lambda_0,\widehat{\Delta n}

$50\%$

测得调制度／扫描采样检查

V_p,\max|\Delta\phi_s|/\pi

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

Michelson 精密测量台

镜面位移

\Delta L

0.80\,\mu\mathrm m

样品池折射率变化

n

0\times10^{-6}

真空波长（不是空气内波长）

\lambda_0

632.80\,\mathrm{nm}

测量镜真实微倾角（零为平行）

\beta

0.060\,\mathrm{mrad}

平行虚镜轴向间距（圆环预设）

d_0

0\,\mathrm{mm}

曝光内镜位移高斯抖动标准差

\sigma_x

0\,\mathrm{nm}

共同探测截线采样点

u_p

0\,\mathrm{mm}

移动金色镜面：往返路径随动，相机条纹平移。倾角归零则视场均匀。试试平行镜角域预设的圆环和波长标定，再试固定镜气室预设。每个扫描点的四个参考相移反演有符号变化。增加镜面抖动，让对比度被洗淡。拖动旋转；播放绝不凭空制造测量。

理想标量平衡分束器、标定暗端口偏置、固定无色散环境折射率、宽光束重叠和理想参考相移。高斯抖动为系综平均，不是探测器噪声。图中镜面微位移放大 4000 倍；不声称仪器精度、绝对相位级次或低相干扫描。

先抓重点

核心问题: 怎样通过数条纹测量位移、波长与折射率？
一句话直觉: 展开扫描相位后，有符号周期数为 $N=\Delta\phi/(2\pi)$ 。单张强度图对相位为偶函数且周期重复，不能给出移动方向或缺失整数级次。实验在每个扫描点加入四个已标定参考相移。扫描从零变化开始，不暗中提供绝对相位。

核心数学模型

往返光程与空气内波长

\begin{aligned}N&=\frac{2n_0\Delta x+2L_g\Delta n}{\lambda_0}\\\lambda_{\mathrm{air}}&=\lambda_0/n_0\end{aligned}

光源控制的是真空波长。环境相位折射率固定为 1.0002718；气室长 100 毫米，其折射率变化相对于环境定义。窗片理想且固定。模型不计算气压、温度或随波长变化的 Ciddor 修正。

直条纹来自真实波前倾斜

\begin{aligned}\Delta_{\mathrm{plane}}(u)&=n_0\bigl[2\Delta x\cos^2\beta\\&\quad-2(L_0+D)\sin^2\beta+u\sin(2\beta)\bigr]\\&\quad+2L_g\Delta n\end{aligned}

测量镜倾角为 beta。将镜面反射通过分束器展开，输出方向偏转两倍角，相位包含横向载频和小纵向修正。u 是相机水平方向，输出沿实验台正方向传播。基准臂长 180 毫米，空间相机距分束器 145 毫米。零倾角时空间图像均匀。忽略气室折射率变化与微倾的混合修正。

圆环需要角域观察

\begin{aligned}\phi(\theta)&=\frac{4\pi n_0(d_0+\Delta x)\cos\theta}{\lambda_0}\\\cos\theta&=\frac{f}{\sqrt{f^2+u^2+v^2}}\end{aligned}

波长预设加入理想扩展角域照明和 100 毫米焦平面观察透镜，两镜保持平行。虚镜间距决定径向相位变化；这是等倾圆环，不是把直条纹画成圆。相机在观察透镜后 100 毫米。间距和位移均为零时角域图像均匀。离轴波长反演计入余弦因子。

测得相位，不是抄滑块

\begin{aligned}p_{-,k}&=\frac{1-V\cos(\phi+k\pi/2)}2\\\phi_w&=\operatorname{atan2}(p_{-,1}-p_{-,3},\,p_{-,2}-p_{-,0})\\N&=\frac{\phi_u(1)-\phi_u(0)}{2\pi}\end{aligned}

理想参考执行器施加四分之一周期相移。反演只接收四条强度数组，并逐点展开扫描相位。允许的所有扫描用 257 个采样，每步低于半周期。测位移需已知波长；测波长需独立已知位移；测气体折射率需已知波长和室长。零位移不能标定波长。不声称知道绝对整数级次。

振动抹去对比度，不抹去能量

\begin{aligned}V&=\exp\!\left[-\frac12\left(\frac{4\pi n_0 g\sigma_x}{\lambda_0}\right)^2\right]\\p_-+p_+&=1\end{aligned}

噪声控制是曝光内零均值高斯轴向镜面抖动的平均。运动投影在倾斜空间观察中为余弦平方，在平行角域观察中为余弦。这里计算解析系综平均，不是随机动画，也不模拟光子或读出噪声。对比度低于 0.05 时停止报告测量值；该阈值是界面保护，不是精度指标。互补图为模型预测，不是第二台相机的采集。

常见难点

漂亮的圆环不等于测量

容易误解一张条纹照片能唯一读出位移、波长和气体折射率。

正确理解只有已知扫描和相移序列提供有符号变化。每个预设隔离一个未知量，其他量必须是标定输入。理想正反演一致不证明仪器精度。这里不求解分束器色散、镀膜相位、有限孔径、光束剪切、衍射、相移误差、散粒噪声、漂移或低相干门控。

动手实验

01
场景 1：倾斜镜微位移
让金色镜面正向和反向移动：光路端点随动，条纹平移，反演扫描周期变号。倾角归零，观察均匀视场。
应该观察到： 实验台显示真实中心镜面反射路径；图中的镜面微位移放大 4000 倍，真实相位不放大。
02
场景 2：等倾圆环波长标定
选择波长标定。增大虚镜间距使环变密，再离轴采样：反演真空波长仍一致。位移归零后，标定不可用。
应该观察到： 图像采用固定线性灰度。半波长位移让强度重复，但累积扫描相位继续变化。
03
场景 3：双程气室折射率测量
选择气室，镜面保持固定。改变折射率，再增加抖动标准差：图像趋向中灰，最终停止报告测量值。
应该观察到： 播放不凭空制造运动或改变静态结果。暂停仍可旋转和使用滑块；扫描表示到当前设定的模拟扫动。