光学 041 · 干涉、相干、光腔与精密测量

相干波合成器

为什么相量图、波前图和探测器读数说的是同一次叠加？ 三者都出自同一组复数场的和。相量图把各个场当箭头首尾相接，波前图把这个和铺在空间里，探测器读到的是合箭头长度的平方。探测器还会在曝光时间内取平均，两个频率稍有不同的波，拍频可能就被平均掉了。

实时的正负电场地形、复数相量多边形和两条探测曲线，都来自同一个确定的平面波求和。组合二到六列波，移动采样点，改变相位和光程，并在有限的曝光窗口里看出拍频。

同一采样点的瞬时与曝光强度

I_{\mathrm{inst}},\overline I_T

$0.50$

时刻／峰值／双波对比度或波数

t,I_{\mathrm{peak}},V_T,N

$50\%$

曝光内拍周期数与相量一致性误差

\Delta\nu T,\varepsilon_{\mathrm{phasor}}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

相干波合成器

平面波数量

N

2

相邻波初相位步进

\Delta\phi

0^{\circ}

相邻波附加光程（正值增加相位）

\Delta\ell

0\lambda_0

相邻波方向间隔

\alpha

4^{\circ}

每束附加波的振幅比

a

1

相邻波频率差（真实拍频）

\Delta\nu

0\,\mathrm{Hz}

探测器末端曝光窗口

T

50\,\mathrm{ms}

三个视图共用的采样横坐标

x_p

0\,\mu\mathrm m

暂停后让两列波反相：白色的相量首尾相接，合成为零，采样点的强度降到零。再试六列波，然后播放“隐藏拍频”预设：青线还在拍动，金线的平均值却是平的。所有视图共用白色采样点。上方的曲面是放大后的电场，带正负号，不是物质。

各列波都是偏振相同的理想平面波；这不是某台实际干涉仪的模型，也不是随机退相干模型。光学载波的运动只作示意，拍频差和末端的滑动强度平均则是精确的定量结果。按理论峰值归一化，并明确标出；不使用自动曝光，也没有模拟镜面。

物理教程

检验相干波合成器的物理过程

背景光叠加的是电场，不是亮度。这里的探测器是标量模型，测的是电场振幅的平方，不算穿过倾斜表面的完整矢量能流。这些理想平面波偏振相同；相量坐标系去掉了光学载波： $S(\mathbf r,t)=\sum_{j=0}^{N-1}A_j e^{i(\mathbf k_j\cdot\mathbf r+\phi_j-2\pi j\Delta\nu t)}$ 。上方曲面画的是带正负号的电场，不是在动的物质，也不是起伏的镜面。曲面把微米级的距离放大了。只有共同的光学载波换成了标注过的慢速示意旋转，真实的拍频差保持不变。

为什么值得理解为什么相量图、波前图和探测器读数说的是同一次叠加？

先抓重点

核心问题: 为什么相量图、波前图和探测器读数说的是同一次叠加？
一句话直觉: 在白色采样点，两张相量图和瞬时探测强度用的是完全相同的复数和： $I_{\mathrm{inst}}/I_1=|S|^2$ 。曝光做的是另一件事：它对强度做时间平均，而不是先平均电场再平方。青线是瞬时强度，金色虚线是截至当前时刻的曝光平均。频率有差别时，短曝光能跟上拍频，曝光一个完整拍周期就看不到拍频了。

核心数学模型

相位、光程与交叉角

\begin{aligned}\theta_j&=\left(j-\frac{N-1}{2}\right)\alpha,\quad \phi_j=j\Delta\phi+j\lVert\mathbf k_j\rVert\Delta\ell\\\mathbf k_j&=\frac{2\pi(\nu_0+j\Delta\nu)}{c}(\sin\theta_j,\cos\theta_j)\end{aligned}

相邻两束波之间，方向、初相位和频率都按同样的步长变化。规定正的附加光程在参考面上增加相位。半个波长的光程加半周相位，一个整波长后图样复原。所有传播方向在同一平面内，所以这些波确实可以共用一个垂直于该平面的线偏振。

有限曝光下的精确强度

\frac{\overline I_T}{I_1}=\frac1T\int_{t-T}^{t}|S(\mathbf r,\tau)|^2\,d\tau=\sum_j A_j^2+2\sum_{i<j}A_iA_j\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu_{ji}T)\cos\!\left[\psi_{ji}\!\left(t-\frac T2\right)\right]

矩形窗口在显示时刻结束。sinc 是正弦除以自变量，在零处等于一。它的正负号要保留，窗口中点的相位也要保留。曝光设为零时，探测器取连续的瞬时极限。假设零时刻之前场就已稳定存在，所以历史曲线可以包含负时刻。

双波的极大、极小与条纹对比度

\frac{I_{\max,\min}}{I_1}=(1\pm a)^2,\quad V_T=\frac{2a}{1+a^2}\left|\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu T)\right|,\quad f_{\mathrm{beat}}=|\Delta\nu|

这些对比度和拍频公式只适用于两束波。两束等振幅的波能完全相消，振幅不等就不行。可见度指曝光后相位扫描或拍频包络的对比度，不是描述随机光源相干性的参数。波多于两束时，探测器把每一对波都算进去，不套用双波公式。

相量多边形与固定绘图标尺

\sum_{j=0}^{N-1}e^{2\pi i j/N}=0,\quad I_{\mathrm{peak}}/I_1=\left(\sum_j A_j\right)^2,\quad 0\le\overline I_T\le I_{\mathrm{peak}}

在原点，六束振幅相同、相位依次差六十度的波，相量首尾相接，围成一个封闭的多边形。移动采样点会改变空间相位，在别处多边形可能合不拢。曲线的纵轴和地面图都除以标明的理论峰值，不用观测到的最大值；物理读数始终以第一束波单独的强度为单位。

常见难点

拍频被隐藏不等于光源退相干

容易误解长曝光曲线变平，就代表波失去了相位关系。

正确理解这里的输入是确定的，完全相干，只有探测器在做平均。曝光一秒、频差一赫兹时，金线停在两束波强度之和上，青色的拍和相量的旋转都照常进行。模型里没有随机相位噪声。

动手实验

01
场景 1：双波条纹
暂停双波预设。把初相位步进设为 180 度，再调小第二束波的振幅，或者加上半个波长的光程。
你会看到： 只有振幅相等时，原点才完全相消。再加半个波长，相消就被反转；空间条纹整体移动，而不是处处消失。
02
场景 2：六波相量闭合
选择六波相量闭合预设。移动共用的采样点，再把相位步进设为零，看多边形怎样拉成一条直线。
你会看到： 无论采样点放在哪里，白色合成端点都和瞬时强度对得上。六束同相的单位振幅波，在原点的强度是第一束单独时的三十六倍。
03
场景 3：长曝光隐藏拍频
选择隐藏拍频预设并播放。把曝光从一秒缩短到零。再把频差反过来，比较图样往哪边漂。
你会看到： 曝光正好一个完整拍周期时，金线平在单束强度的两倍。缩短曝光，调制就回来了，光源不用改。

相干波合成器

检验相干波合成器的物理过程

核心数学模型

相位、光程与交叉角

有限曝光下的精确强度

双波的极大、极小与条纹对比度

相量多边形与固定绘图标尺

常见难点

拍频被隐藏不等于光源退相干

动手实验

场景 1：双波条纹

场景 2：六波相量闭合

场景 3：长曝光隐藏拍频

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