光学 025 · 成像、仪器与视觉系统

针孔相机

针孔开多大，拍出的像最清楚？ 大致开到两种模糊一样大的时候最清楚。孔大了，物体上每一点都照出一块至少和孔一样宽的光斑，像就糊；孔小了，衍射又把像弄糊，进光也少，直径减半，曝光时间得变成四倍。

二维光学台剖面把所有量都连到同一个真实针孔上：有限物距的倒像、随屏幕移动而变的放大率、孔径足迹的精确几何、圆孔的衍射尺度、以曝光档表示的通光量，以及由三条曲线组成的实时清晰度包络。

渐近交叉孔径与等效光圈数

d_{\times},\ N_{\mathrm{eff}}

$0.50$

几何、Airy 与 RSS 模糊直径

b_g,\ b_A,\ b_{\mathrm{RSS}}

$50\%$

Fresnel 数与相对曝光

N_F,\ \Delta\mathrm{EV}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

先抓重点

核心问题: 针孔开多大，拍出的像最清楚？
一句话直觉: 针孔有大小，每个物点就在屏上投出一块几何光斑；光的波动又带来衍射模糊，孔越小它越大： $b_g=d\!\left(1+\frac{L}{S}\right),\qquad b_A\approx\frac{2.44\lambda L}{d}$ 。令两者相等，就得到画面上标出的交叉点。但两者之间的近场过渡要用 Fresnel 传播来算，没有一个普适的数值系数。

m=\frac{y'}{y}=-\frac{L}{S}

每条实线主光线都穿过同一个针孔，所以三个物点在屏上上下颠倒；移动屏幕时，它们的间距按同一比例变化。

b_g=d\!\left(1+\frac{L}{S}\right)

从针孔两侧边缘分别追迹光线，才得到这个与物距有关的额外因子，所以屏上的模糊比针孔本身大；只有物体非常远时，它才接近针孔直径。

b_A\approx\frac{2.44\lambda L}{d},\qquad d_{\times}=\sqrt{\frac{2.44\lambda L}{1+L/S}}

第一式是圆孔远场衍射第一暗环的直径。第二式只是让两个渐近直径相等，所以它是交叉点，不是精确的最优孔径。

容易误解最清晰的针孔直径，永远等于一个固定系数乘以波长与屏距乘积的平方根。

正确理解这种形式是有用的标度律，但系数取决于怎样定义清晰、物距多远、光谱如何，以及处在哪个 Fresnel 区间。本 Lab 显示两个渐近模糊尺度、它们的交叉点和 Fresnel 数，这些依赖关系都看得见。

01
场景 1：几何孔径足迹
从几何孔径足迹场景开始。增大针孔直径，对照通光面积变大带来的曝光增加，以及屏上光斑的变宽。
你会看到： 针孔直径加倍，面积变大，曝光多出两档；可远处物体的几何光斑也大了一倍。亮度和清晰度没法一起变好。
02
场景 2：渐近交叉点
进入渐近交叉场景。拖动屏幕，验证像倍率、有限物距几何模糊、衍射尺度与标记交叉孔径同步变化。
你会看到： 把屏幕移远会增大像尺寸与两种模糊尺度；有限物距几何项的增长略快于直接复制孔径直径。
03
场景 3：分波长衍射
选择分波长衍射并缩小针孔，对照蓝、绿、红第一零点环与持续升高的等效光圈数。
你会看到： 针孔最小时，红色环最大，因为衍射模糊随波长增大。主光线的投影与波长无关，颜色却照样按这个顺序分开。