光学 042 · 干涉、相干、光腔与精密测量

Young 双缝实验台

缝宽、缝距、相位和相干性，各自怎样改变双缝条纹？ 缝距决定条纹间距，两缝离得越远，条纹越密。单缝宽度决定外层的衍射包络，条纹恰好落在包络的零点上就会消失。相位差让条纹在包络下整体平移；相干性不够，明暗对比就变弱。

在三维双缝台上把衍射和干涉分开，再测量缺级、部分相干的影响，以及两缝振幅不等时的对比度。

共同屏幕采样点

I(y_p),y_p

$0.50$

条纹间距／包络第一零点

\Delta y,y_1

$50\%$

相位扫描可见度／宽度比／远场检查

V_{\mathrm{phase}},d/a,F_A

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

Young 双缝实验台

单色光波长

\lambda

532\,\mathrm{nm}

每条缝的实际宽度（决定包络）

a

20\,\mu\mathrm m

两缝中心距（条纹间距）

d

180\,\mu\mathrm m

缝面到屏幕距离（屏幕移动）

L

1.50\,\mathrm m

右缝相对初相位

\phi

0^{\circ}

缝间互相干度

\mu

1

右缝振幅比（零为单缝）

r

1

屏幕共同采样点

y_p

0\,\mathrm{mm}

两条缝，得到一张测量图样。加宽开口，金色包络变窄；拉开两缝中心，青色条纹变密。在缺级预设里，第三级干涉亮纹正好落在包络的零点上。按住 Shift 拖动屏幕上的白色游标测量，或用它的滑块。普通拖动旋转装置；播放只让示意的路径脉冲动起来。

图样按标量近轴远场计算。两缝之间的相干度恒定，各轴单独放大，强度以当前几何为参考。

物理教程

检验Young 双缝实验台的物理过程

背景有一定宽度的缝，射出的光会散开成一片角度，而不是一条细光线。在标量近轴远场里，屏幕上的场就是孔径的 Fourier 变换： $U(y)\propto\int t(s)e^{-i2\pi ys/(\lambda L)}\,ds$ 。每条缝内部的光彼此相干，缝在竖直方向无限长。两缝宽度相等，所以共用同一个 sinc 振幅。三维图里的两条线示意通往采样点的相位路径，不是求解出的近场强度，光也不是只沿这两条线走。开口的宽度和中心距会真的改变，屏幕也会真的移动。

为什么值得理解缝宽、缝距、相位和相干性，各自怎样改变双缝条纹？

先抓重点

核心问题: 缝宽、缝距、相位和相干性，各自怎样改变双缝条纹？
一句话直觉: 屏幕上的图样由两个互相独立的尺度决定： $\Delta y=\frac{\lambda L}{d},\qquad y_1=\frac{\lambda L}{a}$ 。缝宽决定金色的衍射包络，缝距决定青色的干涉周期。图样是两者的乘积，所以即使两束波在某处同相，那一级也可能消失。改变初相位只移动条纹，包络不动。

核心数学模型

两个 Fourier 振幅

\begin{aligned}u_-&=\operatorname{sinc}(\beta)e^{i\alpha},\quad u_+=r\operatorname{sinc}(\beta)e^{i(\phi-\alpha)}\\\beta&=\frac{\pi ay}{\lambda L},\quad\alpha=\frac{\pi dy}{\lambda L},\quad\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x},\quad\operatorname{sinc}(0)=1\end{aligned}

左缝中心坐标为负，右缝为正。Fourier 变换的符号约定，决定了正相位让条纹往哪边移。sinc 每过一个零点就变号；两缝振幅带着同一个符号，相量里必须保留它。

互相干只作用于交叉项

\frac{I}{I_{\mathrm{ref}}}=\frac{|u_-|^2+|u_+|^2+2\mu\operatorname{Re}(u_-^*u_+)}4=\mu\frac{|u_-+u_+|^2}4+(1-\mu)\frac{|u_-|^2+|u_+|^2}4

降低相干度只会削弱交叉项。面板把相干部分和非相干部分分开显示，不用一个虚构的电场来代表部分相干。两缝处的互相干度是用户设定的恒定实数。SPEAR3 论文是对比度测量的依据，但这里不模拟它的光源尺寸反演和光学系统。

缺级与相位扫描对比度

y_m=\left(m+\frac{\phi}{2\pi}\right)\frac{\lambda L}{d},\quad y_n=n\frac{\lambda L}{a},\quad V_{\mathrm{phase}}=\frac{2\mu r}{1+r^2}

两波同相的级次，如果落在包络的非中心零点上，就会消失。初相位为零、缝距是缝宽三倍时，每三级缺一级。相位对齐刻度并不正好是完整乘积的局部极大值。可见度是在包络不为零的固定位置扫描相位测出的；即使完全相干，两缝振幅不等也会让它降低。在包络零点，局部对比度没有定义。

参考标尺和近似的适用范围

\frac{I_{\mathrm{ref}}}{I_{\mathrm{inc}}}=\frac{4a^2}{\lambda L},\quad F_A=\frac{[(d+a)/2]^2}{\lambda L}\le0.081,\quad\frac{|y|}{L}\le0.020

缝在竖直方向无限长时，一维 Fresnel 核给出当前几何下的参考强度，以入射强度为基准。它随屏距成反比下降，而不是有限二维孔径在远场中的平方反比。所有图都按这个参考画在零到一之间，不会按当前最大值自动放大。远场条件检查用的是整个水平半孔径，不只是一条缝的宽度。屏幕颜色是示意用的 RGB，不是校准过的色度。这是近似模型，不是 Maxwell 求解、Fresnel 近场计算、有限缝高模型或光子计数模拟。

常见难点

缝变宽，包络不会跟着变宽

容易误解缝宽变大、缝距变大，孔径都变大了，效果应该一样。

正确理解两者是不同的 Fourier 因子。每条缝变宽，包络变窄；中心距变大，条纹变密。改变相位会移动对齐刻度；降低相干度会把干涉暗纹填亮，但包络零点不动。右缝振幅为零时，只剩单缝包络，峰值是等宽双缝参考值的四分之一。

动手实验

01
场景 1：窄缝干涉
在窄缝预设里，先改变中心距，再改变屏距和波长。按住 Shift 拖动游标，或用它的滑块，把游标移到一条暗纹上。把初相位设为 180 度，中心就变暗。
你会看到： 改变中心距，条纹周期变了，包络不变；屏距和波长会同时缩放两者。装置图、振幅、剖面和读数用的是同一个白色采样点。
02
场景 2：每三级缺级
选择缺级预设。测量落在金色包络零点上的第三级相位对齐刻度，再改变缝宽或相位，让两者错开。
你会看到： 第三级变暗，是因为每条有限宽缝的振幅都在那里变成零，并不是两缝突然失去相干。初相位不会移动包络零点。
03
场景 3：部分相干，不是调暗
选择部分相干。先把相干度降到零；再把它恢复，改为把右缝振幅降到零。比较交叉项贡献和基线贡献。
你会看到： 相干度为零时，屏上只是两缝各自强度的和；挡住一条缝，干涉就完全消失。振幅不等和部分相干，是对比度降低的两种不同原因。

Young 双缝实验台

检验Young 双缝实验台的物理过程

核心数学模型

两个 Fourier 振幅

互相干只作用于交叉项

缺级与相位扫描对比度

参考标尺和近似的适用范围

常见难点

缝变宽，包络不会跟着变宽

动手实验

场景 1：窄缝干涉

场景 2：每三级缺级

场景 3：部分相干，不是调暗

相关实验与文章

孔径、传播与测量