光学 059 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

衍射光栅光谱仪

具有真实正面光路的反射光栅光谱仪：分开钠线，改变有限刻槽数和入口狭缝，检查 Blaze 槽面，标定接收像素，并用滤光片诊断级次重叠。

中心衍射角／理想分辨本领

\beta_m,R_{\rm ideal}

$0.50$

Rayleigh 极限／狭缝波长宽度

\delta\lambda_R,\delta\lambda_{\rm slit}

$50\%$

照明光栅长度／接收像素间距

L,p

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

衍射光栅光谱仪

实际刻线密度

\rho_g

600\,\mathrm{mm^{-1}}

完整照明刻槽数

N_g

3000

从外法线量起的入射角

\alpha

40^{\circ}

实际刻槽 Blaze 角

\varphi

11.60^{\circ}

均匀非相干入口狭缝宽度

w

10\,\mathrm{\mu m}

理想相机焦距

f

200\,\mathrm{mm}

合成光源长波线（钠线固定）

\lambda_0

589.30\,\mathrm{nm}

相机跟随与标定的级次

m

1

光源：钠双线／单线／半波长重叠

s

0

入射长通截止（零为关闭）

\lambda_{\rm cut}

0\,\mathrm{nm}

显示增益指数，不改原始数据

g

1

先看钠双线，把入口狭缝加宽到两峰合并，再增加刻槽数，比较原始像素的中心细节。改变 Blaze：刻槽槽面和包络改变，理想谱线位置不移动。重叠模式的一、二阶落在同一像素；插入长通滤光片，在衍射前去除短波。分别检查光路平面、同倍率放大的刻槽截面和实际接收正面。相机跟随所选中心级次，增益只改彩色显示，播放是入射路线标记，不是光子。

标量有限刻槽反射模型及 Casini–Nelson 槽面响应，均匀非相干狭缝平均、理想角投影相机、四千零九十六有限像素记录。相对响应，不是光栅绝对效率。钠线采用 NIST 空气波长，光源权重为示例，其他光源为合成谱，紫外／红外为伪色。明确增益，理想参考与采集像素分开。不含镀层、偏振、像差、噪声或 Maxwell 求解。微观刻槽细节独立同倍率放大，不悬浮为探测图。双臂近乎重合时遮挡，无 Littrow 分光器。

继续探索

孔径、传播与测量

依次改变缝数、相干性、孔径形状或传播距离，比较各自的作用。

先抓重点

核心问题: 刻线数、blaze、狭缝宽度与级次重叠怎样决定光谱分辨率？
一句话直觉: 一个角度不等于唯一波长： $m_1\lambda_1=m_2\lambda_2$ 。不同波长以不同级次可以共用一个像素；赋予波长之前必须知道级次，或用级次分选滤光片。

核心数学模型

带符号反射几何

\begin{aligned}\sin\beta_m&=m\lambda/d-\sin\alpha\\\beta_0&=-\alpha\\|m\lambda/d-\sin\alpha|&\le1\end{aligned}

法线为实验室正横轴，刻槽竖直。朝光源的方向和出射方向具有正法线分量；入射传播方向朝向光栅。零阶遵守普通反射，正弦值超界时无可传播光线。

精确有限阵列，不造峰

\begin{aligned}t&=\frac d\lambda(\sin\alpha+\sin\beta)\\A_N(t)&=\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}e^{2\pi ijt}\\J_\lambda&=E_\lambda\,|A_N|^2\end{aligned}

完整均匀照明刻槽先相加复振幅。整数相位为主极大，第一个零点相距刻槽数的倒数。所有级次、旁瓣和宽度来自同一个阵列，再乘标量槽面包络。归一化固定，不跟随当前最亮像素。

Blaze 是槽面反射

\begin{aligned}\alpha+\beta_b&=2\varphi\\b&=d\frac{\cos\alpha}{\cos(\alpha-\varphi)}\\E_\lambda&=k\,\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{\pi b}{\lambda}S\right)\\S&=\sin(\alpha-\varphi)+\sin(\beta-\varphi)\end{aligned}

同倍率放大的锯齿为直角顶角，槽面法线由 Blaze 设定。Casini–Nelson 标量积分使用受照槽面长度，不是其投影宽度；阴影因子降低被相邻槽遮住的出射方向。这是相对标量响应，不是镀金属光栅的标定效率或偏振求解。

理想分辨率只是一个限制

\begin{aligned}R_{\rm ideal}&=|m|N\\\delta\lambda_R&=\lambda/(|m|N)\\\delta\lambda_{\rm slit}&\simeq\frac{d\cos\alpha}{|m|}\frac w{f_c}\end{aligned}

Rayleigh 间距适用于理想窄线和零狭缝。均匀非相干狭缝位置经过理想准直器产生不同入射角，再平均强度。所示狭缝波长宽度是小角度几何全宽，不是与 Rayleigh 间距作平方和的总分辨率。记录轮廓还包含有限像素平均。

标定实际接收面

\begin{aligned}u&=f\tan(\beta-\beta_c)\\\lambda_m(u)&=\frac d m\,[\sin\alpha+\sin\beta(u)]\\\beta(u)&=\beta_c+\arctan(u/f)\end{aligned}

相机臂跟随所选级次中心波长，实际十二毫米接收面的法线朝回相机瞳面。下方数据行与实体正面使用同一四千零九十六像素记录。放大曲线留在装置之外，彩色带将一维记录竖直重复以便观看。

先重叠，再在衍射前分选

\begin{aligned}\lambda_2&=\lambda_1/2\\1\lambda_1&=2\lambda_2\\J_{\rm record}&=\sum_\ell w_\ell T(\lambda_\ell)\,\langle J_\ell\rangle\end{aligned}

半波长对明确为合成光源，不是钠发射谱。长波的一阶与短波的二阶共享角度。理想长通滤光片在光到达光栅前去除短波贡献，幸存通道的原始记录不变。红外与紫外为伪色，并非可见光。

常见难点

增加刻槽不解决所有模糊

容易误解理想刻槽分辨本领保证双线一定分开，入口狭缝再宽也无影响。

正确理解检查所采像素。狭缝平均、像素间距和角窗口都可能主导；计算的理想分辨本领不是测得的仪器分辨率。

动手实验

01
场景 1：分开钠双线
用钠线，比较零宽与宽狭缝；改变刻槽数，查看中心原始轮廓。
应该观察到： 更多刻槽收窄有限阵列峰，宽狭缝仍可合并钠双线。
02
场景 2：Blaze 只改包络
用 Blaze，改变槽面角，检查同倍率放大刻槽；比较固定理想谱线刻线。
应该观察到： Blaze 改变槽面法线与相对包络，不改变光栅方程谱线位置。
03
场景 3：级次重叠与滤光片
用重叠，读取中心像素不同级次的候选波长，插入五百纳米长通滤光片，比较两个光源通道。
应该观察到： 滤光片去除一个光源通道，不是按编号删除一个衍射级；重叠是在同一像素存在级次歧义。