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光学 059 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

衍射光栅光谱仪

光栅光谱仪能把多近的两条谱线分开，由什么决定？ 分辨本领等于照亮的刻线数乘以衍射级次，照亮的刻线多一倍，能分开的谱线间隔就小一半。狭缝太宽或像素太大，会把谱线抹宽，白白浪费分辨本领。Blaze 是把刻槽做成斜面，让大部分光进入某一级。不同级次可能落在同一角度，需要滤光片或已知级次，才能认出是哪个波长。

光沿反射光栅光谱仪的正面光路传播。分开钠线，改变刻槽数和入口狭缝，查看 Blaze 槽面，标定接收像素，并用滤光片诊断级次重叠。

交互模型衍射光栅光谱仪
中心衍射角／理想分辨本领 βm,Rideal\beta_m,R_{\rm ideal}0.500.50
Rayleigh 极限／狭缝波长宽度 δλR,δλslit\delta\lambda_R,\delta\lambda_{\rm slit}50%50\%
照明光栅长度／接收像素间距 L,pL,p0.00π0.00\pi
模型适用区间模型适用\text{模型适用}

物理教程

检验衍射光栅光谱仪的物理过程

背景光栅靠相邻刻槽之间的相位匹配，把颜色换成角度：d(sin⁡α+sin⁡β)=mλd(\sin\alpha+\sin\beta)=m\lambda。反射光栅不让这些光线穿过不透明的背面；光源和接收衍射光的相机都在外法线一侧。

为什么值得理解光栅光谱仪能把多近的两条谱线分开，由什么决定？

先抓重点

核心问题
光栅光谱仪能把多近的两条谱线分开，由什么决定？
一句话直觉
一个角度并不对应唯一的波长：m1λ1=m2λ2m_1\lambda_1=m_2\lambda_2。不同波长在不同级次上，可以落到同一个像素。要先知道级次，或者用级次分选滤光片，才能定出波长。

核心数学模型

带符号角度的反射几何

sin⁡βm=mλ/d−sin⁡αβ0=−α∣mλ/d−sin⁡α∣≤1\begin{aligned}\sin\beta_m&=m\lambda/d-\sin\alpha\\\beta_0&=-\alpha\\|m\lambda/d-\sin\alpha|&\le1\end{aligned}

法线取实验室水平正方向，刻槽竖直。指向光源的方向和出射方向，法向分量都为正；入射光的传播方向则指向光栅。零级遵守普通反射。正弦值超出这个界限的级次，没有可传播的光线。

有限刻槽阵列求和得到的峰

t=dλ(sin⁡α+sin⁡β)AN(t)=1N∑j=0N−1e2πijtJλ=Eλ ∣AN∣2\begin{aligned}t&=\frac d\lambda(\sin\alpha+\sin\beta)\\A_N(t)&=\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}e^{2\pi ijt}\\J_\lambda&=E_\lambda\,|A_N|^2\end{aligned}

所有完整、均匀照明的刻槽，把各自的复振幅相加。相位为整数时出现主极大，第一个零点离它刻槽数分之一。所有级次、旁瓣和峰宽都来自这一个阵列求和，再乘上标量的槽面包络。归一化是固定的，不随当前最亮的像素变化。

Blaze 是槽面的反射

α+βb=2φb=dcos⁡αcos⁡(α−φ)Eλ=k sinc⁡2 ⁣(πbλS)S=sin⁡(α−φ)+sin⁡(β−φ)\begin{aligned}\alpha+\beta_b&=2\varphi\\b&=d\frac{\cos\alpha}{\cos(\alpha-\varphi)}\\E_\lambda&=k\,\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{\pi b}{\lambda}S\right)\\S&=\sin(\alpha-\varphi)+\sin(\beta-\varphi)\end{aligned}

锯齿按横竖同倍放大，顶角为直角，槽面法线由 Blaze 角决定。Casini–Nelson 标量积分用的是槽面受照的长度，不是它的投影宽度；被相邻槽面挡住的出射方向，由阴影因子削弱。这是相对的标量响应，不是金属光栅的标定效率，也不求解偏振。

理想分辨率只是一个限制

Rideal=∣m∣NδλR=λ/(∣m∣N)δλslit≃dcos⁡α∣m∣wfc\begin{aligned}R_{\rm ideal}&=|m|N\\\delta\lambda_R&=\lambda/(|m|N)\\\delta\lambda_{\rm slit}&\simeq\frac{d\cos\alpha}{|m|}\frac w{f_c}\end{aligned}

Rayleigh 间距只适用于理想的窄谱线和零宽狭缝。狭缝上各点均匀、非相干，经过理想准直器后各有不同的入射角，最后把强度平均。显示的狭缝波长宽度是小角度下的几何全宽，并没有和 Rayleigh 间距按平方和合成。记录的轮廓还包含有限像素的平均。

标定实际接收面

u=ftan⁡(β−βc)λm(u)=dm [sin⁡α+sin⁡β(u)]β(u)=βc+arctan⁡(u/f)\begin{aligned}u&=f\tan(\beta-\beta_c)\\\lambda_m(u)&=\frac d m\,[\sin\alpha+\sin\beta(u)]\\\beta(u)&=\beta_c+\arctan(u/f)\end{aligned}

相机臂跟着所选级次的中心波长转动，十二毫米接收面的法线朝回相机瞳孔。下方数据行和实体接收面用的是同一份四千零九十六像素记录。放大的曲线放在装置之外；彩色条带把一维记录竖直重复，方便观看。

级次重叠，在光栅前分选

λ2=λ1/21λ1=2λ2Jrecord=∑ℓwℓT(λℓ) ⟨Jℓ⟩\begin{aligned}\lambda_2&=\lambda_1/2\\1\lambda_1&=2\lambda_2\\J_{\rm record}&=\sum_\ell w_\ell T(\lambda_\ell)\,\langle J_\ell\rangle\end{aligned}

半波长对是有意构造的合成光源，不是钠的发射谱。长波的一级和短波的二级以同一角度出射。理想长通滤光片在光到达光栅之前去掉短波，留下的通道数据不变。红外和紫外用伪彩显示，它们不是可见光。

常见难点

增加刻槽不解决所有模糊

容易误解按刻槽数算出的理想分辨本领，保证两条谱线一定能分开，入口狭缝再宽也一样。

正确理解看采集到的像素。狭缝平均、像素间距和所选角度窗口，都可能成为主要限制。算出来的理想分辨本领，不是仪器实测的分辨率。

动手实验

  1. 01

    场景 1：分开钠双线

    选钠光。对比零宽和宽狭缝，改变刻槽数，看中心处的原始轮廓。

    你会看到： 刻槽越多，有限阵列的峰越窄；可狭缝一宽，钠双线照样会并成一条。
  2. 02

    场景 2：Blaze 只改包络

    选 Blaze。改变槽面角，看横竖同倍放大的刻槽轮廓，并和固定的理想谱线刻度对照。

    你会看到： Blaze 改变槽面法线和相对包络，光栅方程给出的谱线位置不变。
  3. 03

    场景 3：级次重叠与滤光片

    选重叠。读出中心像素上各个级次对应的候选波长，插入五百纳米长通滤光片，比较两个光源通道。

    你会看到： 滤光片去掉的是一个光源通道，不是按编号删掉某个衍射级。重叠的意思是：同一个像素上，分不清看到的是哪一级。

相关实验与文章

继续探索

孔径、传播与测量

依次改变缝数、相干性、孔径形状或传播距离，比较各自的作用。

  1. 实验衍射实验台从单缝、双缝和多缝的焦平面扫描开始。
  2. 实验Young 双缝实验台给双缝加入振幅不平衡与部分相干。
  3. 实验孔径衍射工作室绘制二维孔径，再比较互补遮挡。
  4. 实验波前传播 Lab移动接收面，观察近场到远场的变化。
  5. 当前页面衍射光栅光谱仪把刻线间距、照明刻线数与光谱分辨率联系起来。
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