光学 057 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

孔径衍射工作室

绘制二值孔径，把复场传播到真实三维接收面。比较狭缝、Airy 环、多边形、字母；互补同一掩膜，由计算显出 Arago 亮斑，不替换为预制图案。

尺寸 Fresnel 尺度／接收距离

N_d,z

$0.50$

探针／轴上总强度

I_p/I_0,I_c/I_0

$50\%$

Babinet 振幅闭合／掩膜单元间距

\epsilon_B,\Delta\xi

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

孔径衍射工作室

尺寸（圆孔直径／缝宽／设计边长）

d

0.30\,\mathrm{mm}

接收面距离（对数光轨）

z

2.50\,\mathrm m

真空波长

\lambda

532\,\mathrm{nm}

形状编号（也可用下方形状按钮）

s

1

掩膜旋转

\alpha

0^{\circ}

互补遮挡（关：孔，开：遮挡物）

c

0

显示增益十进制指数（不改数据）

\log_{10}G

4

中央横向探针（窗口比例）

x_p/L

0

选择狭缝、圆孔、多边形、字母，或在光台下绘制自己的孔，松开后计算。缩小孔会扩大图案，旋转会同时转动掩膜和整个场。互换开孔与遮挡物，在振幅层面检查 Babinet：总强度并不相同。Arago 场景中，不透明圆盘的阴影中心重新出现亮点。在光台视图按 Shift 拖接收正面改变距离；掩膜与探测器细节显示真实对象。曝光只影响亮度，播放只动画入射波标记，不是新测量。

标量单色 Fresnel 模型、理想无限入射平面波；有限支撑孔与无限平面互补。栅格边界覆盖、单元积分、点采样探测器。独立理想远场参考、明确显示增益。纵向对数布局，掩膜／探测面横向倍率不同，支架不纳入光学。不是真实材料边缘 Maxwell 求解，也不是有噪有限光束实验。

继续探索

孔径、传播与测量

依次改变缝数、相干性、孔径形状或传播距离，比较各自的作用。

先抓重点

核心问题: 同一手绘形状变成开孔或不透明遮挡物时，衍射怎样改变？
一句话直觉: 必须先相加振幅，再取强度： $I=|U|^2$ 。圆孔在远场极限产生 Airy 环；不透明圆盘在近场阴影内可恢复轴上亮点。它们是不同的场，不是同一张环纹贴图。

核心数学模型

由编辑掩膜计算接收面

\begin{aligned}U_A(x,y;z)&=\frac{1}{i\lambda z}\iint A(\xi,\eta)\\&\quad e^{i\pi[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2]/(\lambda z)}\,\mathrm d\xi\,\mathrm d\eta\\I_A/I_0&=|U_A|^2\end{aligned}

掩膜位于纵向零点，沿真空正向传播，积分中坐标全部用米。入射振幅为一，只去公共纵向相位。编辑器给二值设计，再栅格化为面积平均振幅单元，对各单元传播核积分，不用 FFT 周期或预存图案代替。

Babinet 是振幅恒等式

\begin{aligned}U_{1-A}&=1-U_A\\|U_{1-A}|^2&=1+|U_A|^2-2\operatorname{Re}U_A\\|U_{1-A}-1|^2&=|U_A|^2\end{aligned}

孔域在有限设计域外为零，互补透射在域外为一。未遮挡无限平面波在整个接收面具有单位场。因此遮挡总强度通常不同于开孔强度；只有去掉背景后的散射贡献等于负开孔场。不宣称两张总强度图相同。

Airy 与狭缝曲线是独立极限参考

\begin{aligned}I_{\rm circle}/I_0&=\left(\frac{\pi d^2}{4\lambda z}\right)^2\left[\frac{2J_1(q)}q\right]^2\\q&=\frac{\pi d r}{\lambda z}\\r_1&\simeq1.21967\,\frac{\lambda z}{d}\\x_{1,\rm slit}&=\frac{\lambda z}{d}\end{aligned}

圆孔尺寸是直径，绝不是曲率半径。狭缝尺寸为全宽，有限长度一毫米带来第二个 sinc 因子。金色曲线假定理想连续形状与远场极限，青色采用栅格 Fresnel 场。多边形尺寸为顶点外接圆直径，字母与手绘为设计方格边长。近场不必符合金色参考。

不透明圆盘后的亮点

\begin{aligned}U_A(0;z)&=1-e^{i\pi a^2/(\lambda z)}\\U_{\rm disk}(0;z)&=e^{i\pi a^2/(\lambda z)}\\I_{\rm disk}(0;z)/I_0&=1,\qquad a=d/2\end{aligned}

独立轴上结果来自理想圆孔径向积分，再用 Babinet；要求无限均匀平面波和标量 Fresnel 假定。数值栅格应趋近它，但不会被强制设为一，也不另画亮点。有限光束、粗糙边缘、失准与部分相干可改变真实实验。

采样与近似边界

\begin{aligned}\Delta \xi&=\frac{1.6\,\mathrm{mm}}{256}\\N_d&=\frac{(d/2)^2}{\lambda z}\\\delta\phi_{\max}&\le\frac{\pi r_{\max}^4}{4\lambda z^3}\end{aligned}

尺寸 Fresnel 数采用直径约定，不是任意多边形、狭缝或手绘的完整支撑半径；相位界限采用完整设计域与探测窗口的角点。探测窗口随波长、距离、尺寸调整；窗口功率只针对有限开孔，不是无限平面波总能量。模拟探测器为点采样而非像素积分。栅格收敛和独立极限分别验证。

显示增益不是物理测量

\begin{aligned}B&=\min\!\left(1,\frac{\ln(1+G I/I_0)}{\ln5}\right)\\G&=10^g\end{aligned}

两种探测图使用同一明确显示转换。增益不改变原始读数、场值或对数强度轮廓。场景分别放大掩膜与接收面，采用对数光轨。计算点是自适应横窗上的场采样，绝不是光子或真实飞行时间动画。机械支撑不纳入理想光学模型。

常见难点

互补不等于复制总强度

容易误解不透明圆盘应该与圆孔有相同总环纹，或者中心永远全黑。

正确理解先相加复振幅，再取模平方。未遮挡背景与互补贡献干涉，可在几何阴影内恢复轴上亮点。

动手实验

01
场景 1：绘制孔径
从圆孔开始缩小直径，再旋转狭缝或字母，对照掩膜与完整探测图。
应该观察到： 更小的孔产生更宽远场图案，不是缩小的孔形照片。
02
场景 2：Babinet 互补
绘制孔并松开计算，不改波长与距离，互换为其互补遮挡物。
应该观察到： 互补总强度会改变，即使去掉背景后的场与开孔有相同散射强度。
03
场景 3：Poisson–Arago 亮斑
选择 Arago 亮斑，用掩膜视图检查不透明圆盘，用接收面视图检查中央亮点。
应该观察到： 在理想平面波模型下圆盘中心趋近单位强度，中心像素没有被另行覆盖。