光学 057 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

孔径衍射工作室

开孔和同形状的挡板，各自的衍射有什么关系？ 开孔和同形状的挡板互补：两者的衍射场加起来，正好是没有遮挡时的波，这叫 Babinet 原理。除了正前方那一点，两者的远场图样完全一样。圆孔在远场给出 Airy 环；不透明圆盘的阴影正中反而可能出现一个亮点，叫 Arago 亮斑。

画出一个二值孔径，把它的复场传播到三维接收面上。比较狭缝、Airy 环、多边形和字母，把掩膜换成互补形状，看 Arago 亮斑从同一套计算里出现。

尺寸 Fresnel 尺度／接收距离

N_d,z

$0.50$

探针／轴上总强度

I_p/I_0,I_c/I_0

$50\%$

Babinet 振幅残差／掩膜单元间距

\epsilon_B,\Delta\xi

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

孔径衍射工作室

尺寸（圆孔直径／缝宽／设计边长）

d

0.30\,\mathrm{mm}

接收面距离（对数光轨）

z

2.50\,\mathrm m

真空波长

\lambda

532\,\mathrm{nm}

形状编号（也可用下方形状按钮）

s

1

掩膜旋转

\alpha

0^{\circ}

互补遮挡（关：孔，开：遮挡物）

c

0

显示增益十进制指数（不改数据）

\log_{10}G

4

中央横线上的探针位置（占窗口比例）

x_p/L

0

选狭缝、圆孔、多边形或字母，也可以在光台下方画出自己的开孔，松开后开始计算。孔越小，图案铺得越开；旋转掩膜，整个场也跟着转。把开孔和遮挡物互换，在振幅层面检验 Babinet 原理：两者的总强度并不相同。在 Arago 场景里，不透明圆盘的阴影中心会出现一个亮点。在光台视图中按住 Shift 拖动接收面，可以改变距离。掩膜和探测器的细节视图显示的是它们本身。曝光只影响亮度；播放只让入射波标记动起来，不是新的测量。

模型是标量单色的 Fresnel 衍射，入射波是理想的无限大平面波。孔径大小有限，它的互补形状是挡住同样区域的无限大平面。边缘按栅格覆盖率处理并逐格积分，探测器逐点采样。理想远场参考单独显示，显示增益明确标出。纵向布局为对数比例，掩膜和探测面的横向放大倍率不同，支架不参与光学计算。这不是针对真实材料边缘的 Maxwell 求解，也不是带噪声的有限光束实验。

先抓重点

核心问题: 开孔和同形状的挡板，各自的衍射有什么关系？
一句话直觉: 先把振幅加起来，再取强度： $I=|U|^2$ 。圆孔在远场极限下产生 Airy 环；不透明圆盘在近场阴影里却能恢复一个轴上亮点。两者来自不同的场。

核心数学模型

从所画掩膜到接收面的 Fresnel 传播

\begin{aligned}U_A(x,y;z)&=\frac{1}{i\lambda z}\iint A(\xi,\eta)\\&\quad e^{i\pi[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2]/(\lambda z)}\,\mathrm d\xi\,\mathrm d\eta\\I_A/I_0&=|U_A|^2\end{aligned}

掩膜位于纵向零点，光在真空中向前传播，积分里的坐标都用米。入射振幅为一，只去掉各点共有的纵向相位。编辑器给出二值设计，再栅格化成小单元，每个单元的振幅取面积平均；传播核在每个单元上积分。计算不用周期性 FFT，也不调用预存图案。

Babinet 原理对振幅成立

\begin{aligned}U_{1-A}&=1-U_A\\|U_{1-A}|^2&=1+|U_A|^2-2\operatorname{Re}U_A\\|U_{1-A}-1|^2&=|U_A|^2\end{aligned}

设计区域之外，开孔不透光，互补掩膜全透光。没被挡住的无限平面波在整个接收面上场强都是一。因此遮挡物后的总强度一般和开孔后的不同；只有减去背景后的散射部分，才等于开孔场的负值。两张总强度图并不相同。

圆孔与狭缝的理想远场参考

\begin{aligned}I_{\rm circle}/I_0&=\left(\frac{\pi d^2}{4\lambda z}\right)^2\left[\frac{2J_1(q)}q\right]^2\\q&=\frac{\pi d r}{\lambda z}\\r_1&\simeq1.21967\,\frac{\lambda z}{d}\\x_{1,\rm slit}&=\frac{\lambda z}{d}\end{aligned}

圆孔尺寸指直径，绝不是曲率半径。狭缝尺寸指全宽；狭缝长一毫米，因此多出第二个 sinc 因子。金色曲线假设形状理想连续，并取远场极限；青色曲线用栅格化后的 Fresnel 场。多边形尺寸是过各顶点的外接圆直径，字母和手绘图形的尺寸是设计方格的边长。在近场，计算结果不必和金色参考一致。

不透明圆盘后的亮点

\begin{aligned}U_A(0;z)&=1-e^{i\pi a^2/(\lambda z)}\\U_{\rm disk}(0;z)&=e^{i\pi a^2/(\lambda z)}\\I_{\rm disk}(0;z)/I_0&=1,\qquad a=d/2\end{aligned}

这个轴上结果另有独立推导：先对理想圆孔做径向积分，再用 Babinet 原理。它假设无限均匀平面波和标量 Fresnel 衍射。栅格化的数值结果应当自己趋近这个值，不会被直接设成一，也没有另画亮点。真实实验里，有限光束、粗糙边缘、未对准和部分相干都会改变结果。

采样与 Fresnel 近似的适用范围

\begin{aligned}\Delta \xi&=\frac{1.6\,\mathrm{mm}}{256}\\N_d&=\frac{(d/2)^2}{\lambda z}\\\delta\phi_{\max}&\le\frac{\pi r_{\max}^4}{4\lambda z^3}\end{aligned}

Fresnel 数把尺寸当作直径，并不等于每个多边形、狭缝或手绘图形的完整支撑半径。相位误差界限改用完整设计区域和探测窗口的角点。探测窗口随波长、距离和尺寸调整。窗口功率只算有限开孔透过的光，不是无限平面波的总能量。模拟探测器逐点采样，不在像素上积分。栅格收敛和独立极限分别做了检验。

探测图的亮度显示方式

\begin{aligned}B&=\min\!\left(1,\frac{\ln(1+G I/I_0)}{\ln5}\right)\\G&=10^g\end{aligned}

两张探测图用同一个亮度映射。增益不改变原始读数、场值和对数强度轮廓。场景把掩膜和接收面分别放大，光轨按对数刻度画出。计算点是横向窗口上的场采样，窗口大小会自适应；它们不是光子，也不表示光的飞行过程。机械支架不在理想光学模型之内。

常见难点

互补掩膜的总强度并不相同

容易误解不透明圆盘要么和圆孔有一样的环纹，要么中心一直是黑的。

正确理解先加复振幅，再取模平方。没被挡住的背景光和圆盘的散射光发生干涉，能在几何阴影里的轴上重新亮起一个点。

动手实验

01
场景 1：绘制孔径
先选圆孔，把直径调小。再旋转狭缝或字母，对照掩膜和完整探测图。
你会看到： 孔越小，远场图案越宽，而不是缩成一张更小的孔形照片。
02
场景 2：Babinet 互补
画一个开孔，松开后开始传播计算。波长和距离保持不变，换成互补的遮挡物。
你会看到： 换成互补遮挡物后，总强度变了；可减去背景后，它的散射强度和开孔相同。
03
场景 3：Poisson–Arago 亮斑
选择 Arago 亮斑。在掩膜视图里看不透明圆盘，在接收面视图里看中央亮点。
你会看到： 在理想平面波模型下，算出的圆盘阴影中心强度趋近于一。

孔径衍射工作室

检验孔径衍射工作室的物理过程

核心数学模型

从所画掩膜到接收面的 Fresnel 传播

Babinet 原理对振幅成立

圆孔与狭缝的理想远场参考

不透明圆盘后的亮点

采样与 Fresnel 近似的适用范围

探测图的亮度显示方式

常见难点

互补掩膜的总强度并不相同

动手实验

场景 1：绘制孔径

场景 2：Babinet 互补

场景 3：Poisson–Arago 亮斑

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