光学 056 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

波前传播 Lab

离孔由近到远，衍射图样怎样变化？ 是渐变的，中间没有突然切换。孔径上每一点都发出子波，屏上的场是这些子波的复数和。离得近时，图样还像孔的形状，只是边缘带着波纹；屏幕越移越远，Fresnel 数平滑减小，图样慢慢变成远场的 Fraunhofer 衍射图。

在同一个方孔后面的复场里连续移动探测器。看加权的 Huygens 贡献怎样叠出近场结构，有限窗口里收到多少功率，图样又怎样逐渐趋向 Fraunhofer 极限。

Fresnel 数／真实距离

N_F,z

$0.50$

探测器探针／原始强度

x_p,I_p/I_0

$50\%$

窗口功率／远场轮廓差异

\eta_W,\epsilon_{\mathrm{FF}}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

波前传播 Lab

探测器距离（探测器沿对数刻度光轨移动）

z

0.15\,\mathrm m

方孔全边长（开口随之改变）

w

0.40\,\mathrm{mm}

真空波长

\lambda

532\,\mathrm{nm}

中央横线上的探针位置（占窗口比例）

x_p/L

0.15

显示曝光的十进制指数（不改变数据）

\log_{10}G

0

把探测器从有波纹的近场移到宽阔的远场图样。方形开口随孔径边长变化。比较青色的传播强度和单独标出的金色 Fraunhofer 参考，二者只在 Fraunhofer 极限下才吻合。移动金色探针，看加权振幅先相加、再平方。在光台视图中按住 Shift 拖动接收面，或点击沿程图，都能移动同一个探测器。细节视图把遮板和探测器单独拿出来查看。播放画的是数学上的贡献，不是光子；曝光只改变显示，不改变数据。

计算采用单色标量 Fresnel 近似，在精确的方孔区域上积分，用可分离的 96 节点求积。不求解完整的 Maxwell 方程，也不模拟相干性下降和相机噪声。场景沿轴向按对数映射，横向窗口自适应，支架放大显示；细节视图把装置单独拿出来。曝光明确设定，原始功率从不随峰值重新归一化。

先抓重点

核心问题: 离孔由近到远，衍射图样怎样变化？
一句话直觉: 以孔的半边长为长度尺度，传播尺度为 $N_F=\frac{(w/2)^2}{\lambda z}$ 。这个数连续变化。数值小，说明远场近似适用；但它不是开关，图样仍由 Fresnel 计算给出。

核心数学模型

每个孔面元都贡献一个复振幅

\begin{aligned}U_z&=\frac{1}{i\lambda z}\iint_\Omega\\&\quad e^{i\pi[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2]/(\lambda z)}\,\mathrm d\xi\,\mathrm d\eta\\I_z/I_0&=|U_z|^2\end{aligned}

孔位于轴向零点，距离沿入射平面波方向为正，横向坐标从孔中心量起。入射振幅取一，波长取真空值，以此归一化。只去掉沿轴的公共载波相位。积分中的坐标都以米为单位。场景里的彩色曲线代表积分中的各项贡献，不是弯曲的几何光线。

方孔：两个一维因子

\begin{aligned}F_z(x)&=\int_{-w/2}^{w/2}e^{i\pi(x-\xi)^2/(\lambda z)}\,\mathrm d\xi\\U_z(x,y)&=\frac{F_z(x)F_z(y)}{i\lambda z}\end{aligned}

在本 Fresnel 模型里，场严格分解为横向因子乘竖向因子。每个因子在真实开口上取 96 个 Gauss–Legendre 节点，权重为不相等的正数。相量多边形只显示横向因子除以孔边长；要得到探测强度，还要乘上竖向因子和传播前因子。多边形只画出 24 项，不会改变探测数据。

远场忽略孔内的二次相位

\begin{aligned}I_{\mathrm{FF}}/I_0&=\left(\frac{w^2}{\lambda z}\right)^2\\&\quad\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{\pi wx}{\lambda z}\right)\\&\quad\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{\pi wy}{\lambda z}\right)\\\operatorname{sinc}(t)&=\sin(t)/t\end{aligned}

金色参考就是这个解析极限，用相同单位、相同观察窗口单独算出。它沿中央轴线的第一个零点，位于波长乘距离再除以孔全边长处。近场图样不一定有这个零点，也不必长得像它。显示的差异是两条中央截线的均方根差，除以两者中较大的峰值；它不是实验误差，也不代表全场精度。

傍轴适用不等于远场

\begin{aligned}N_F&=\frac{(w/2)^2}{\lambda z}\\|\delta\phi_4|&\le\frac{\pi r_{\max}^4}{4\lambda z^3}\\r_{\max}&=\sqrt2(L+w/2)\end{aligned}

相位界读数给出 Fresnel 模型所略去的四阶程差项的上限，按孔到窗口角点的最大距离计算。在近场，Fraunhofer 可能错得很厉害，Fresnel 却仍然适用。孔的尺寸始终有数百个波长，控制范围是有意限定的。模型不求解倏逝波、边缘处的矢量场、遮板厚度，也不计后向辐射。

落到探测窗口外的功率

\begin{aligned}\eta_W&=\frac{\int_{-L}^{L}\int_{-L}^{L}|U_z|^2\,\mathrm dx\,\mathrm dy}{w^2}\\P_{\mathrm{all}}/I_0&=w^2\\B&=\min\!\left(1,\frac{\ln(1+GI/I_0)}{\ln5}\right)\end{aligned}

入射振幅为一时，穿过方孔的功率等于孔面积，这些功率分布在整个观察平面上。有限大小的方形探测器只接住其中一部分，尾部落在窗口外。窗口内的功率由点采样做梯形积分估算。半窗口宽度自动取 0.7 个孔全边长和三个预测远场零点间距中较大的那个。曝光和对数亮度只影响图像，读数保留原始值。截线图用标注了原始数值刻度的对数轴，不是按峰值归一化的强度。

场景坐标与物理距离的对应

\begin{aligned}X_{\mathrm{scene}}(z)&=-240+600\frac{\ln(z/0.04)}{\ln100}\\Z_{\mathrm{scene}}(x)&=140x/L\\Y_{\mathrm{scene}}(y)&=155+140y/L\end{aligned}

场景沿轴和横向用不同尺度，两者都有标注。遮板固定在场景坐标负 320 处，与第一个模拟距离之间留有空隙。孔和探测器共用一个横向尺度，所以同一视图里两者的大小可以直接比较；细节相机只是单独放大它们，不改变模型。沿程图每一行都有自己的横向窗口，横轴不是固定的毫米刻度。播放只是逐步显示贡献，并移动放慢的标记。

常见难点

暗处同样收到贡献

容易误解孔上被照亮的点越多，探测器就一定越亮。

正确理解复振幅可以互相抵消。要先把加权后的场加起来，再取模平方。粗糙的等权求和还会让快速振荡的相位混叠，点画得再多也不能证明结果正确。

动手实验

01
场景 1：逐点子波构造
在子波构造场景中移动探针，观察加权相量多边形。逐步显示部分和，探测数据不会因此改变。
你会看到： 相量互相抵消时，强度下降。只显示部分和只是展示，不是新的采集。
02
场景 2：Fresnel 近场
选近场。改变孔边长、移动探测器，把 Fresnel 图样和金色参考对比。
你会看到： 近场波纹连续变化，这时远场近似可能失效。
03
场景 3：Fraunhofer 远场
选远场，把探针放在预测的第一个零点附近，调节波长。再改曝光，确认原始强度没有变。
你会看到： Fraunhofer 图样作为极限出现。有限窗口内的功率与图像亮度无关。

波前传播 Lab

检验波前传播 Lab的物理过程

核心数学模型

每个孔面元都贡献一个复振幅

方孔：两个一维因子

远场忽略孔内的二次相位

傍轴适用不等于远场

落到探测窗口外的功率

场景坐标与物理距离的对应

常见难点

暗处同样收到贡献

动手实验

场景 1：逐点子波构造

场景 2：Fresnel 近场

场景 3：Fraunhofer 远场

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