光学 056 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

波前传播 Lab

在同一个方孔复场中连续移动探测器，把加权 Huygens 贡献、近场结构、有限窗口功率与 Fraunhofer 极限连起来。

Fresnel 数／真实距离

N_F,z

$0.50$

探测器探针／原始强度

x_p,I_p/I_0

$50\%$

窗口功率／远场轮廓差异

\eta_W,\epsilon_{\mathrm{FF}}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

波前传播 Lab

探测器距离（真实移动，对数光轨）

z

0.15\,\mathrm m

方孔全边长（真实改变开口）

w

0.40\,\mathrm{mm}

真空波长

\lambda

532\,\mathrm{nm}

中央横向探针（窗口比例）

x_p/L

0.15

显示曝光的十进制指数（不改变数据）

\log_{10}G

0

把探测器从波纹近场移动到宽阔远场。孔径边长改变真实方形开口。比较青色传播强度与独立标示的金色 Fraunhofer 参考，只有到其极限才应吻合。移动金色探针，看加权振幅先相加再平方。在光台视图按 Shift 拖动接收面，或点击沿程图，移动同一个探测器。细节视角隔离真实遮板、探测器供检查。播放表示数学贡献，不是光子；曝光只改变显示，不改变数据。

单色标量 Fresnel 近似，精确方孔积分域、可分离的 96 节点积分。不是完整 Maxwell 求解，不模拟失相干或相机噪声。纵向场景对数映射，横向窗口自适应，支架放大；细节视图隔离装置。明确显示曝光，原始功率绝不随峰值归一化。

继续探索

孔径、传播与测量

依次改变缝数、相干性、孔径形状或传播距离，比较各自的作用。

先抓重点

核心问题: 一个场怎样从近场子波连续演化成远场衍射图？
一句话直觉: 采用半边长约定，传播尺度为 $N_F=\frac{(w/2)^2}{\lambda z}$ 。它连续变化。较小的数支持远场近似，但不是替换 Fresnel 计算的开关。

核心数学模型

每个孔元素都有一个复贡献

\begin{aligned}U_z&=\frac{1}{i\lambda z}\iint_\Omega\\&\quad e^{i\pi[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2]/(\lambda z)}\,\mathrm d\xi\,\mathrm d\eta\\I_z/I_0&=|U_z|^2\end{aligned}

孔位于真实纵向零坐标，距离正向沿入射平面波，横向坐标从中心量起。单位入射振幅与真空波长确定归一化，只去掉公共纵向载波。积分中全部坐标单位为米。彩色场景曲线表示积分贡献，不是弯曲几何光线。

方孔：两个一维因子

\begin{aligned}F_z(x)&=\int_{-w/2}^{w/2}e^{i\pi(x-\xi)^2/(\lambda z)}\,\mathrm d\xi\\U_z(x,y)&=\frac{F_z(x)F_z(y)}{i\lambda z}\end{aligned}

在本 Fresnel 模型内，可分离性精确成立，不是把一行复制成整张图。每个因子用覆盖真实开口的 96 个 Gauss–Legendre 节点，权重为不等正数。相量多边形仅显示横向因子除以孔边长；探测强度仍需竖向因子及传播前因子。只显示 24 项不会改变采集。

远场忽略孔内二次相位

\begin{aligned}I_{\mathrm{FF}}/I_0&=\left(\frac{w^2}{\lambda z}\right)^2\\&\quad\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{\pi wx}{\lambda z}\right)\\&\quad\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{\pi wy}{\lambda z}\right)\\\operatorname{sinc}(t)&=\sin(t)/t\end{aligned}

金色参考是在相同单位、观察窗口中的独立解析极限。中央轴向首零点是波长乘距离除以孔全边长。近场不必符合那个零点或图样。报告的差异是中央轮廓均方根差除以较大轮廓峰值，不是实验误差或全场精度认证。

傍轴适用性不等于远场

\begin{aligned}N_F&=\frac{(w/2)^2}{\lambda z}\\|\delta\phi_4|&\le\frac{\pi r_{\max}^4}{4\lambda z^3}\\r_{\max}&=\sqrt2(L+w/2)\end{aligned}

相位界估算所有孔到窗口角点路径中被省略的四阶项。即使 Fraunhofer 严重失效，近场 Fresnel 仍可能适用。孔特征始终为数百个波长。控制范围有意受限，不求倏逝波、矢量边界场、材料厚度或后向辐射。

功率离开窗口，不是理论消失

\begin{aligned}\eta_W&=\frac{\int_{-L}^{L}\int_{-L}^{L}|U_z|^2\,\mathrm dx\,\mathrm dy}{w^2}\\P_{\mathrm{all}}/I_0&=w^2\\B&=\min\!\left(1,\frac{\ln(1+GI/I_0)}{\ln5}\right)\end{aligned}

单位振幅通过方孔，在全平面发送与孔面积对应的功率。有限方形探测器只收集一部分，尾部仍在窗口外。梯形积分由点采样估算其功率。半窗口自适应取 0.7 个孔全边长或三个预测远场零点间距的较大值。曝光与对数亮度只影响图像，读数保留原始值。轮廓采用标示原始刻度的对数轴，不是峰值归一化强度。

先看坐标映射，再看动画

\begin{aligned}X_{\mathrm{scene}}(z)&=-240+600\frac{\ln(z/0.04)}{\ln100}\\Z_{\mathrm{scene}}(x)&=140x/L\\Y_{\mathrm{scene}}(y)&=155+140y/L\end{aligned}

纵向、横向场景尺度不同且明确标注。遮板固定在场景负 320，第一模拟距离前留有间隔。孔与探测器共用横向尺度，所以单个视图中相对大小一致；细节相机隔离放大，不改变模型。沿程图每行都有新的横向窗口，不是固定毫米横轴。播放只展示贡献与减速标记。

常见难点

暗处不意味着没有贡献源

容易误解增加被照亮的孔点一定使探测器更亮。

正确理解复振幅可以相消。先加权相加场，再取模平方。粗糙等权求和还可能混叠振荡相位，更多亮点不是科学验证。

动手实验

01
场景 1：逐点子波构造
在子波构造中移动探针，检查加权相量多边形。显示部分和但不改变探测数据。
应该观察到： 矢量相消改变强度，部分显示不是新的采集。
02
场景 2：Fresnel 近场
选近场，改变真实孔边长并移动探测器，对比 Fresnel 结构与金色参考。
应该观察到： 近场波纹连续演化，远场近似可能失效。
03
场景 3：Fraunhofer 远场
选远场，把探针放到预测首零点附近，改变波长，再调曝光而不改变原始强度。
应该观察到： Fraunhofer 作为极限出现，有限窗口功率与图像亮度保持分离。