M061 · 用弹簧计时

弹簧振子与周期标定

弹簧上的物体振动，周期由什么决定？ 周期由质量和弹簧劲度决定，质量变成四倍，周期翻倍。振幅改变不了周期。把弹簧竖着挂，重力只把平衡点往下移，劲度不变，周期也不变。

同一根标定好的弹簧，一次接在无摩擦滑车上，一次竖直挂起重物，都可以从多个角度观察。拖动质量块或者推它一下，记录它沿正方向经过平衡位置的时刻，再把测得的周期和解析值比较。两轴等比例的相空间图会告诉你，振幅和重力到底改变了什么。

沿运动坐标的有向弹簧力 $0\,N$

沿运动坐标的加速度 $0\,\mathrm{m/s^2}$

执行器瞬时功率 $0\,W$

瞬时耗散功率 $0\,W$

经过时间 $0\,\mathrm{s}$

相对平衡位置的位移 $0\,\mathrm{m}$

速度 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

无阻尼参考周期 $0\,\mathrm{s}$

相对平衡位置的机械能 $0\,\mathrm{J}$

积分耗散能量 $0\,\mathrm{J}$

积分驱动做功 $0\,\mathrm{J}$

能量收支误差 $0\,\mathrm{J}$

相对解析解的位移误差 $0\,\mathrm{m}$

步长减半后的终点变化 $0\,\mathrm{m}$

实际积分步长 $0\,\mathrm{ms}$

正向过零测得的周期 $\text{Collecting}$

重力造成的静态伸长 $0\,\mathrm{m}$

由释放初态得到的振幅 $0.3\,\mathrm{m}$

给弹簧振子计时

什么决定周期？

物理受力矢量弹簧力、驱动力、阻尼力、重力和轨道反力，每一时刻都按同一个比例画出。速度矢量蓝色箭头，比例与力分开。正方向是向右或向下。近期已采集轨迹只显示最近两个参考周期，不画未来的运动。运动质量

m

1.00\,\mathrm{kg}

弹簧刚度

k

20.00\,\mathrm{N\,m^{-1}}

释放位移

x_0

0.30\,\mathrm{m}

初速度

v_0

0.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}

竖直悬挂：零关闭，一开启

I_{\mathrm{vertical}}

0.00\,

局部重力

g

9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}

最大积分步长

\Delta t_{\max}

20.00\,\mathrm{ms}

检查实验时刻

t/t_{\mathrm{end}}

0.00\,\%

拖动质量块，设定释放时的位移；每个控制都能用键盘滑块调。蓝线是速度除以固有角频率，青线是位移。参考圆两个方向用同一个物理比例尺。

模型采用质点和无质量的胡克弹簧，没有摩擦。位移从平衡位置算起，轨道上向右为正，悬挂时向下为正。竖直悬挂的机械能把弹簧势能和重力势能合在一起，从平衡位置算起，略去一个常数；能量视图用的也是这两项之和。装置长度按每个实验缩放，画出来的弹簧原长只是参考。线圈形状、质量块大小、轨道和支架都是示意；不考虑弹簧丝的形变、接触限制和碰撞。水平滑车上，重力和轨道的支持力相互抵消。受力箭头自动缩放，速度箭头另有比例，但都来自同一个数值状态。四阶积分同时和解析解、减半步长的结果比较；减半步长带来的变化只是诊断量，不是严格的误差上界。

物理教程

把弹簧当作时钟

背景线性弹簧的回复力和伸长量成正比。它的周期很稳定，可以当时钟用：已知质量就能测出刚度，已知弹簧就能测出质量。把水平滑车和竖直悬挂放在一起比，就能直接看出重力改变了什么。

为什么值得理解OpenStax《University Physics》第一卷第 15.1 节给出了理想简谐运动的解。本实验把这个精确解和过零计时、相空间图、单独求解的数值轨迹并排摆在一起。

先抓重点

核心问题: 振幅更大、质量更重或重力更强，周期会变吗？
一句话直觉: 先从运动本身测出周期，再和理论值比较。重力只改变竖直弹簧停在哪里，不改变它在平衡位置附近的刚度。

核心数学模型

平衡位置和运动方程

\ell_{\mathrm{eq}}-\ell_0=\frac{mg}{k},\qquad m\ddot x+kx=0

重力让竖直弹簧的平衡位置下移，但从平衡位置算起的位移方程不变。悬挂时向下为正，轨道上向右为正。

周期和任意初态下的解

\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad T_0=\frac{2\pi}{\omega_0},\quad x(t)=x_0\cos(\omega_0t)+\frac{v_0}{\omega_0}\sin(\omega_0t)

质量和刚度决定周期。在理想线性模型里，振幅和释放相位都不影响周期。

能量与相空间圆

E=\frac12mv^2+\frac12kx^2=\frac12kA^2,\qquad x^2+\left(\frac v{\omega_0}\right)^2=A^2

把速度除以固有角频率，相空间两个坐标就都是长度。两轴比例相同，轨迹就是圆；直接画位置和速度，一般得到椭圆。

从过零时刻测周期

\widehat T=\frac{t_{\uparrow,N}-t_{\uparrow,1}}{N-1},\qquad N\ge2

时钟记录数值轨迹沿正方向穿过零点的时刻，用线性插值定位，从不读取已知周期。质量块静止时没有过零，也就没有实测周期。

竖直悬挂时重力为什么消掉

\Delta U_s=\tfrac12kx^2+mgx,\quad\Delta U_g=-mgx,\quad F_s+mg=-kx

弹簧势能和重力势能都从平衡位置算起，两者的一次项正好相消。弹簧力本身并不是合力。

常见难点

振幅不决定周期

容易误解拉得越远，振得越慢。

正确理解质量和刚度不变，比较两个不同的振幅；在线性模型里，两者周期相同。

平衡位置不是原长

容易误解竖直弹簧围绕没拉伸时的长度振动。

正确理解弹簧先被重物拉长一段，弹力和重力平衡。位移要从这个下移后的平衡位置算起。

不动就测不出周期

容易误解就算没有运动，时钟也应该显示理论周期。

正确理解把初始位移和速度都设为零。理论周期仍然有定义，但计时器找不到过零时刻，只会显示静止。

动手实验

01
给水平滑车计时
先看全景和侧视，再选择“水平滑车”，测量八个周期。
你会看到： 测得的周期接近解析周期，总能量保持不变。
02
改变质量和释放方式
把质量加倍，再比较两种释放：拉得更远，或者在平衡位置推它一下。
你会看到： 质量改变周期；振幅和释放相位改变相空间圆的大小或起点。
03
移动平衡位置
选择“竖直悬挂”，改变重力；切换能量回看和精细单步，对照同一段运动中的受力。
你会看到： 静态伸长变了，周期和相对平衡位置的能量关系都没变。
04
检查数值解
减小最大步长，查看与解析位移的误差，以及步长减半后终点位置变化多少。
你会看到： 实际步长可能已经因为稳定性受到限制；减半检验用的是这个实际步长的一半。