弹簧振子与四种表示

弹簧上的物体振动，周期由什么决定？ 周期由质量和弹簧劲度决定，质量变成四倍，周期翻倍。振幅改变不了周期。把弹簧竖着挂，重力只把平衡点往下移，劲度不变，周期也不变。

拖动弹簧上的质量块，对照能量交换、相空间椭圆与旋转相量。用带噪相机记录测周期，再把装置竖直悬挂。

动能 $28.8\,\mathrm{mJ}$

相对平衡态的势能 $28.8\,\mathrm{mJ}$

相机过零周期 $1.57\,\mathrm{s}$

理想模型周期 $1.57\,\mathrm{s}$

模型假设

质点与无质量线性弹簧无摩擦运动，位移从平衡位置起算，水平向右、悬挂时向下为正。重力改变悬挂平衡位置，不改变固有频率；位置控制同时平移支架和平衡点。显示的势能为相对平衡态的弹性势能与重力势能之和，导出记录保留两项各自的变化。模拟相机的时间戳精确，位置叠加独立高斯噪声。只有先经过负位移才接受下一次上穿过零，用线性插值定位，再对过零时刻与序号回归求周期。记录时窗取九个理想周期，但测量只读取相机样本；标准误依赖该过零检测与噪声模型。线圈形状、质量块尺寸和支架为示意，不模拟弹簧丝质量、非线性、碰撞或材料极限。

核心问题: 哪些改变会调整周期，哪些只是把运动起点移到轨道的另一处？
一句话直觉: 质量与刚度决定周期。振幅决定轨道大小，释放相位决定从哪里开始。

核心数学模型

从平衡位置起算

m\ddot q+kq=0,\quad\omega_0=\sqrt{k/m},\quad T_0=2\pi/\omega_0

水平向右、悬挂时向下为正。平衡位置控制同时移动支架与平衡点。

释放的幅度与相位

q=A\cos(\omega_0t+\varphi),\qquad v=-A\omega_0\sin(\omega_0t+\varphi)

相位转过四分之一圈，就变成从平衡位置带初速度出发。振幅与相位都不改变理想周期。

椭圆与圆形相量

E=\frac{p^2}{2m}+\frac{kq^2}{2},\quad p=mv,\quad q^2+(-v/\omega_0)^2=A^2

动量对位移画出椭圆。相量纵轴改用负速度除以角频率，两轴取相同长度比例，因此逆时针转动。

用相机给振动计时

t_{\uparrow,j}=a+j\widehat T+r_j

先确认一次可分辨的负向偏移，再在线性插值后接受上穿过零。对过零时刻与序号回归，斜率便是周期，并给出条件回归标准误。

悬挂后，线性回复规律不变

\Delta\ell_{\rm static}=mg/k,\quad\Delta U_s=\tfrac12kq^2+mgq,\quad\Delta U_g=-mgq

重力把平衡位置向下移。重力势能的变化正好抵消弹性势能中的一次项，留下图中显示的势能。

常见难点

力最大与速度最大不在一处

容易误解弹簧拉得最用力时，物体也最快。

正确理解端点处速度为零，回复力最大；经过平衡位置时，净回复力为零，速度反而最大。

悬挂的平衡态已经拉长

容易误解重力更大，振动时钟就一定更慢。

正确理解重力让弹簧先伸长到新的平衡态。在线性模型中，绕该点的刚度保持不变。

动手实验

01
跟过四分之一圈
暂停后，把回放时间推进四分之一周期。
你会看到： 弹性势能转成动能，相空间中的点同时沿椭圆移动。
02
改变时钟快慢
比较“换一个重滑块”与“更快的弹簧”。
你会看到： 质量增大让周期变长，刚度增大让周期缩短，相机周期与模型周期一起变化。
03
把装置竖起来
选“竖直悬挂”，再在细节中改变重力加速度。
你会看到： 静态伸长改变；质量与刚度固定时，周期保持不变。