M032 · 动量 / 恢复系数

一维碰撞台

非弹性碰撞保留了什么？ 总动量守恒，动能不守恒。不同惯性系里测到的动量各不相同，但恢复系数和损失的动能在所有惯性系里都一样，因为它们只取决于相对速度。

在无摩擦轨道上释放两辆滑车，三维视角可以随意旋转。比较弹性碰撞时的速度交换、有能量损耗的碰撞和碰后共速三种情形。接触触发器把相机轨迹分成碰前、碰后两段，分别拟合速度。换一个运动的观察者，测到的动量和动能会变，恢复系数和碰撞损失的能量不变。

质心水平位置 $0\,\mathrm{m}$

质心横向位置 $0\,\mathrm{m}$

质心水平速度 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

标定法线上的相对速度 $\text{No event}$

标定切线上的相对速度 $\text{No event}$

光标之前的摄影帧数 $1$

经过时间 $0\,\mathrm{s}$

相机系水平动量 $0\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$

相机系动能 $0\,\mathrm{J}$

碰撞耗散能量 $0\,\mathrm{J}$

已传递法向冲量 $0\,\mathrm{N\,s}$

预测接触时间 $\text{No event}$

摄影速度测得的恢复系数 $\text{Collecting}$

摄影位置残差均方根 $\text{Collecting}$

动量守恒偏差 $0\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$

动能与耗散收支偏差 $0\,\mathrm{J}$

相机系速度一 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

相机系速度二 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

看一次碰撞，再推断发生了什么

非弹性碰撞保留了什么？

已发生轨迹解析参考轨迹只画到光标所在的时刻。质心标记标出所选观察者参考系里按质量加权的平均位置。已发生接触事件接触发生以后，才显示接触时刻的轮廓和冲量箭头。速度与接触矢量箭头为示意，数值读数保留物理单位。质量一

m_1

1.00\,\mathrm{kg}

质量二

m_2

1.50\,\mathrm{kg}

释放速度一

u_1

1.80\,\mathrm{m\,s^{-1}}

释放速度二

u_2

-0.40\,\mathrm{m\,s^{-1}}

法向恢复系数

e

0.80\,

初始中心间距

d_0

2.40\,\mathrm{m}

观察者速度

U

0.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}

相机帧率

f_{\mathrm{cam}}

60.00\,\mathrm{Hz}

位置噪声标准差

\sigma_{\mathrm{pos}}

0.00\,\mathrm{m}

已采集轨迹

\tau

0.00\,\%

拖动空心的蓝色释放箭头，或用键盘调节滑块。点“记录碰撞”会采集整段运动，并换一组新的噪声；回放和拖动进度时，只显示已经采到的帧。恢复系数的估计值超出物理范围也照样显示，用来看出噪声的影响。

滑车当作光滑质点，接触半径固定，只是示意。没有摩擦、自转，也没有外部水平冲量。运动和接触时刻都由解析解求出。相机给每个位置加上独立的高斯噪声，时间和长度都已标定；接触时间另外单独标定。碰前、碰后各至少要有四帧，才显示测量结果。

先抓重点

核心问题: 移动相机会改变同一次碰撞的耗散能量或恢复系数吗？
一句话直觉: 先拟合速度，再比较碰前、碰后的法向相对速度。两车速度一相减，观察者自己的速度就消掉了。

核心数学模型

动量与冲量

m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2,\qquad m_1(v_1-u_1)=-m_2(v_2-u_2)

接触阶段没有外部水平冲量。

由两段速度拟合恢复系数

e=\frac{v_2-v_1}{u_1-u_2},\qquad u_1>u_2

碰前、碰后各至少四帧。接近速度无法分辨时，这个比值不可靠。

碰撞损失的能量

K_{\mathrm{before}}-K_{\mathrm{after}}=\frac12\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(1-e^2)(u_1-u_2)^2

由两车末速度重新算出能量，再把损失量和这个约化质量公式比较。

改变观察者

v_i'=v_i-U,\quad P'=P-(m_1+m_2)U,\quad K'=K-UP+\frac12(m_1+m_2)U^2

动量守恒，所以碰前减碰后的动能差里，和观察者速度有关的项正好抵消。

常见难点

动量不是能量

容易误解动量守恒就意味着动能守恒。

正确理解有能量损失的碰撞里，动量照样守恒，只是部分动能在碰撞中损失掉了。

粘在一起要恢复系数为零

容易误解任何耗散碰撞都会让滑车粘住。

正确理解在这条一维轨道上，只有恢复系数为零，两车碰后才一起运动。

帧数太少，就测不出来

容易误解运动已知，相机就一定能测出来。

正确理解碰前帧数不够时，即使模型能预言碰撞，相机也给不出拟合结果。

动手实验

01
找到碰撞瞬间
依次点“碰撞前一刻”“定位碰撞”“碰撞后一刻”，旋转视角，再切到“守恒收支”。
你会看到： 位置连续变化，速度却突然跳变。紫色箭头是碰撞时已经传递的冲量，不是整个回放中一直作用的力。
02
追踪质心
把两车质量设得不同，拖动记录进度，看青色的质心标记。
你会看到： 两车速度变了，质心速度却不变。动量和能量只统计到光标所在的时刻。
03
先测再比较
记录默认碰撞，把测得恢复系数与设置比较。
你会看到： 采样点和拟合速度都带噪声，解析轨迹作为参考。
04
交换速度，还是共用速度
比较“等质量交换”和“共同末速度”两个预设。
你会看到： 只有共同末速度情形消除全部轨道相对动能。
05
移动观察者
记录之后改观察者速度，光标和相机样本都保持不变。
你会看到： 动量和动能变了，碰撞损失的能量和恢复系数不变。
06
让测量失败
试试“相互远离”和“碰前帧数不足”两个预设。
你会看到： 两车不相碰就没有冲量，帧数不够就拟合不出来，实验会分别报告这两种失败。

核心数学模型

动量与冲量

由两段速度拟合恢复系数

碰撞损失的能量

改变观察者

常见难点

动量不是能量

粘在一起要恢复系数为零

帧数太少，就测不出来

动手实验

找到碰撞瞬间

追踪质心

先测再比较

交换速度，还是共用速度

移动观察者

让测量失败