M032 · 动量 / 恢复系数

一维碰撞台

在无摩擦轨道释放两辆滑车，比较弹性速度交换、耗散与共同末速度。接触触发器把摄影轨迹分为碰前与碰后两段，分别拟合速度。移动观察者会改变动量和动能，却不改变恢复系数与碰撞耗散。

经过时间 $0\,\mathrm{s}$

相机系水平动量 $0\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$

相机系动能 $0\,\mathrm{J}$

碰撞耗散能量 $0\,\mathrm{J}$

已传递法向冲量 $0\,\mathrm{N\,s}$

预测接触时间 $\text{No event}$

摄影速度测得的恢复系数 $\text{Collecting}$

摄影位置残差均方根 $\text{Collecting}$

动量守恒偏差 $0\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$

动能与耗散收支偏差 $0\,\mathrm{J}$

相机系速度一 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

相机系速度二 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

释放 / 观测 / 反演

非弹性碰撞保留了什么？

速度与接触矢量箭头为示意，数值读数保留物理单位。质量一

m_1

1.00\,\mathrm{kg}

质量二

m_2

1.50\,\mathrm{kg}

释放速度一

u_1

1.80\,\mathrm{m\,s^{-1}}

释放速度二

u_2

-0.40\,\mathrm{m\,s^{-1}}

法向恢复系数

e

0.80\,

初始中心间距

d_0

2.40\,\mathrm{m}

观察者速度

U

0.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}

相机帧率

f_{\mathrm{cam}}

60.00\,\mathrm{Hz}

位置噪声标准差

\sigma_{\mathrm{pos}}

0.00\,\mathrm{m}

已采集轨迹

\tau

0.00\,\%

拖动空心蓝色释放箭头，或使用键盘滑块。记录碰撞完成整段采样并生成新的噪声；重播与拖动进度只展示已采到的帧。超出物理区间的恢复系数估计会保留，作为噪声诊断。

采用光滑质点滑车与固定示意接触半径；无摩擦、自转或外部水平冲量。运动与接触时间解析求解。摄影采用独立高斯位置噪声，时间与长度已标定，接触时间独立标定。碰前、碰后各至少四帧才显示测量结果。

先抓重点

核心问题: 移动相机会改变同一次碰撞的耗散能量或恢复系数吗？
一句话直觉: 先拟合速度，再比较法向相对速度；观察者的速度在相对速度中抵消。

核心数学模型

动量与冲量

m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2,\qquad m_1(v_1-u_1)=-m_2(v_2-u_2)

接触阶段没有外部水平冲量。

由两段速度拟合恢复系数

e=\frac{v_2-v_1}{u_1-u_2},\qquad u_1>u_2

碰前、碰后各至少四帧。接近速度无法分辨时，这个比值不可靠。

独立耗散恒等式

K_{\mathrm{before}}-K_{\mathrm{after}}=\frac12\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(1-e^2)(u_1-u_2)^2

能量收支从两车末速度独立重算，再与约化质量参考比较。

改变观察者

v_i'=v_i-U,\quad P'=P-(m_1+m_2)U,\quad K'=K-UP+\frac12(m_1+m_2)U^2

动量守恒使观察者变换项在碰前、碰后的动能差中抵消。

常见难点

动量不是能量

容易误解动量守恒就意味着动能守恒。

正确理解使用耗散预设：动量闭合，而动能转为碰撞损失。

共同速度有条件

容易误解任何耗散碰撞都会让滑车粘住。

正确理解在这一维轨道上，只有恢复系数为零才消除相对法向速度。

采样是仪器限制

容易误解轨迹已知就一定能给出摄影测量。

正确理解选择碰前帧不足；即使模型能预测碰撞，仪器仍拒绝拟合。

动手实验

01
先测再比较
记录默认碰撞，把测得恢复系数与设置比较。
应该观察到： 采样点与拟合速度带噪，解析轨迹是参考。
02
交换或共享速度
比较等质量弹性与共同末速度预设。
应该观察到： 只有共同末速度情形消除全部轨道相对动能。
03
移动观察者
改变观察者速度并重新记录。
应该观察到： 动量与动能改变，碰撞耗散与恢复系数一致。
04
挑战测量
尝试相互远离与碰前帧不足。
应该观察到： 没有冲量与采样不足得到不同失败状态。