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Sandbox Physics

M003 · 抛体运动 / 逆向设计

抛体飞行设计器

发射台与可移动地面目标同步连接侧视剖面、侧风俯视图、速度分量及能量收支。比较真空、线性阻力和平方阻力，补偿侧风，或在固定发射速率下搜索最远纵向射程的仰角。

交互模型抛体飞行设计器
经过时间0 s0\,\mathrm{s}
速度：纵向、竖直、横向[000] m s−1\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\,\mathrm{m\,s^{-1}}
加速度：纵向、竖直、横向[000] m s−2\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\,\mathrm{m\,s^{-2}}
落地时间0 s0\,\mathrm{s}
纵向落点0 m0\,\mathrm{m}
横向落点0 m0\,\mathrm{m}
地面脱靶距离0 m0\,\mathrm{m}
轨迹曲率0 m−10\,\mathrm{m^{-1}}
机械能0 J0\,\mathrm{J}
空气做功0 J0\,\mathrm{J}
能量收支误差0 J0\,\mathrm{J}
减半步长的落点变化0 mm0\,\mathrm{mm}
设计结果调整发射或拖动目标

物理教程

从轨迹预测走到发射设计

背景给定发射条件时，抛体运动是初值问题；给定目标时，它成为逆向设计问题。同一条三维轨迹同步驱动侧视、地面漂移、速度分量与能量收支。目标位于水平地面，第一次下降穿越地面就结束实验。

为什么值得理解OpenStax《University Physics》第一卷第 4.3、6.4 节给出真空基准与平方阻力力律；本工作台加入独立的线性阻力模型、相对空气速度及有界数值搜索，让每次参数变化都有可测量的后果。

先抓重点

核心问题
在真空里选出的发射方案，加入侧风与阻力后还能命中吗？
一句话直觉
重力竖直作用，阻力却取决于完整的相对空气速度 u=v−w\boldsymbol u=\boldsymbol v-\boldsymbol w。侧视图可能掩盖严重的横向脱靶，俯视图把这条测量闭环补全。

核心数学模型

三维运动方程

r˙=v,mv˙=−mgey+FD\dot{\boldsymbol r}=\boldsymbol v,\qquad m\dot{\boldsymbol v}=-mg\boldsymbol e_y+\boldsymbol F_D

三个坐标依次为纵向、竖直和横向；发射仰角与方位角确定三个初速度分量。RK4 推进质点，强阻力会自动缩小最大步长。

选择一种空气模型

FD={0vacuum,−bulinear,−k∥u∥uquadratic,u=v−w\boldsymbol F_D=\begin{cases}\boldsymbol 0&\text{vacuum},\\-b\boldsymbol u&\text{linear},\\-k\lVert\boldsymbol u\rVert\boldsymbol u&\text{quadratic},\end{cases}\qquad\boldsymbol u=\boldsymbol v-\boldsymbol w

倍数控制缩放线性参考系数 0.08 kg 每秒或平方参考系数 0.003 kg 每米。它们是可控的现象模型参数；滑块不会计算 Reynolds 数或特定物体的阻力系数。

真空落地时间与射程基准

timpact=v0sin⁡θ+v02sin⁡2θ+2gh0g,ximpact=v0cos⁡θcos⁡ϕ timpactt_{\mathrm{impact}}=\frac{v_0\sin\theta+\sqrt{v_0^2\sin^2\theta+2gh_0}}{g},\qquad x_{\mathrm{impact}}=v_0\cos\theta\cos\phi\,t_{\mathrm{impact}}

水平地面发射、零方位角且无空气作用时，最远射程对应 45 度；发射高度与空气作用会改变最优角。质量只在真空中消去；风速控制不能改变真空轨迹。

能量与曲率诊断

E=12m∥v∥2+mgy,Wair=∫FD⋅v dt,κ=∥v×a∥∥v∥3E=\tfrac12m\lVert\boldsymbol v\rVert^2+mgy,\quad W_{\mathrm{air}}=\int\boldsymbol F_D\cdot\boldsymbol v\,dt,\quad\kappa=\frac{\lVert\boldsymbol v\times\boldsymbol a\rVert}{\lVert\boldsymbol v\rVert^3}

地面系中的机械能变化等于空气做功；风可能输入机械能，因此正的空气做功不自动表示数值失败。曲率衡量单位路径长度的转向，不仅取决于速率。

常见难点

风不是额外的恒力

容易误解侧风就是恒定横向加速度，真空中也一样。

正确理解空气作用取决于相对风的速度，真空中完全消失；固定阻力系数时改变质量，会通过力除以质量改变加速度。

搜索不是命中保证

容易误解点击搜索命中方案，就能到达任何目标。

正确理解搜索固定速率与环境，并遵守仰角、方位角边界；最近方案若仍在 2 m 容差外，会报告脱靶，不会偷偷移动目标。

减半步长不是严格误差界

容易误解减半步长的落点差，就是轨迹的精确误差。

正确理解它测量对更细步长的敏感性；真空解析基准和线性阻力测试提供独立检查，但微小差值与通过能量检验都不能证明遗漏的物理效应不重要。

动手实验

  1. 01

    恢复真空基准

    选真空射程，把发射台高度、方位角设为零，搜索最远纵向射程，再改变质量与两个风速。

    应该观察到： 最优角接近 45 度；质量和风速不改变真空结果，事件求解的落地时刻与解析基准一致。
  2. 02

    让空气影响显现

    比较线性阻力和侧风挑战，在最高点附近暂停，观察俯视图、速度分量及空气做功。

    应该观察到： 两种阻力模型给出不同轨迹；侧风产生侧视图无法揭示的横向位移。
  3. 03

    闭合逆向设计回路

    在俯视图拖动金色目标并搜索命中；再把目标移动到可达射程之外重复操作。

    应该观察到： 固定速率时搜索调整仰角与方位角；可达目标在容差内命中，超出范围的目标仍明确脱靶。
  4. 04

    检验高度和收敛

    选悬崖发射，搜索最远纵向射程，再比较不同最大步长以及减半步长的落点变化。

    应该观察到： 最优角不必为 45 度；强阻力会缩小稳定步长，落地事件在最后一个积分步内部求解。