引力 · 开普勒轨道

轨道发射台

同一种引力，为什么能画出椭圆、抛物线和双曲线？ 出发时的位置和速度定下了能量和角动量，轨道是哪种曲线，就看这两个量。能量为负，物体被束缚在椭圆或圆上；正好为零是抛物线；为正就沿双曲线逃走。能量一定时，角动量决定轨道有多扁、离中心最近有多近。

把天体送上圆轨道、椭圆轨道或逃逸轨迹，可以旋转视角，回放任意时刻。拿数值算出的轨迹和解析的圆锥曲线比一比，再看相等时间扫过的面积和能量记录。

初始圆锥曲线 $0$

记录半径 $0$

比能量 $0$

初始偏心率 $0$

预测近日点 $0$

能量误差 / 初始势能尺度 $0$

设置初始条件

选定发射半径、速度和角度

记录轨迹只画出回放已经走到的部分。解析圆锥曲线由发射时的状态预测的虚线，与积分得到的轨迹分开显示。速度与引力薄荷绿表示

\mathbf v

，金色表示引力。箭头长度经过压缩。等时扫掠扇区比较记录中两段时间内扫过的面积，每段半个时间单位。引力参数

\mu

1

初始半径

r_0

1.5

初速 / 当地圆轨道速率

v_0/v_c

0.8

从径向外侧起算的发射角

\alpha

90

记录时长

T

16

使用归一化单位：试探粒子在平面内绕一个固定的点质量运动，服从牛顿引力。滑块的改动在发射时生效。半径小于 0.08 时停止记录，这是数值上的截断，不是模拟的撞击。天体和箭头都画大了；模型不考虑相对论，也没有其他天体。

从发射条件到轨迹、读数和 CSV 文件，用的都是同一份计算记录。所有物理量用归一化单位，天体画得比实际比例大。

记录时间

t=0.00

实线来自积分样本；虚线圆锥曲线由初始位置与速度独立计算。两个彩色扇区分别从发射时刻和记录中点开始，各覆盖半个归一化时间单位；记录过短时，二者等量缩短。

r_{\mathrm p}=\frac{h^2}{\mu(1+e)},\qquad \frac{\mathrm d A}{\mathrm d t}=\frac{h}{2}

时间、距离与质量采用归一化单位。平面与圆环是坐标参考；显示尺寸不代表物理半径。能量误差除以初始势能的绝对值，因此总能量为零时仍有意义。回放不重新计算轨迹。

加入第三个天体 →NASA：引力与轨道运动

先抓重点

核心问题: 只看当前位置和速度，如何判断天体会返回还是逃逸？
一句话直觉: 比能量决定天体会不会被引力拴住，角动量决定轨道的形状和近日点。

核心数学模型

中心引力

\ddot{\mathbf r}=-\frac{GM}{r^3}\mathbf r

加速度方向永远指向中心，大小按 $1/r^2$ 衰减。

比机械能

\varepsilon=\frac{v^2}{2}-\frac{GM}{r}

$\varepsilon<0$ 为束缚椭圆， $\varepsilon=0$ 是抛物线边界， $\varepsilon>0$ 为双曲线逃逸。

常见难点

有引力也可以逃逸

容易误解只要引力一直存在，天体最终一定会回来。

正确理解引力随距离减弱。只要总能量为正，天体虽然越飞越慢，仍能逃到无穷远。

圆轨道不是没有加速度

容易误解速率不变意味着加速度为零。

正确理解速度方向一直在变，这就需要一个始终指向中心的向心加速度。

动手实验

01
识别圆轨道条件
选择“圆轨道”，比较速度与引力箭头。
你会看到： 两个箭头几乎垂直，半径保持稳定。
02
改变能量
保持发射半径，逐步提高初速，每次点击“生成新轨迹”。
你会看到： 椭圆越拉越长，逐渐接近逃逸的临界情况。
03
跨过逃逸阈值
选择“逃逸”，查看轨道分类、预测近日点和守恒误差。
你会看到： 比能量转正，预测曲线不再闭合。

轨道发射台

轨道能否保持能量和角动量？

轨道：用能量读懂圆锥曲线