引力 · 开普勒轨道

轨道发射台

发射圆轨道、椭圆或逃逸轨迹，旋转视角并回放每个时刻。将数值轨迹与解析圆锥曲线比较，再用等时扫掠面积和能量记录检验运动。

初始圆锥曲线 $0$

记录半径 $0$

比能量 $0$

初始偏心率 $0$

预测近日点 $0$

能量误差 / 初始势能尺度 $0$

设置初始条件

给引力一个起点

记录轨迹只绘制回放时钟已经到达的部分。解析圆锥曲线由初态求出的虚线预测，与积分记录分开显示。速度与引力薄荷绿表示

\mathbf v

，金色表示引力。箭长经压缩。等时扫掠扇区比较记录中两段各半个时间单位的扫掠面积。引力参数

\mu

1

初始半径

r_0

1.5

初速 / 当地圆轨道速率

v_0/v_c

0.8

从径向外侧起算的发射角

\alpha

90

记录时长

T

16

采用归一化单位，模拟固定点质量周围的平面牛顿试探粒子。滑块在发射时生效。半径小于 0.08 时停止记录，这是数值边界，不是碰撞模型。天体尺寸与箭头经过放大，忽略相对论及其他天体。

从发射条件到轨迹、读数和 CSV 使用同一份记录。所有物理量采用归一化单位；天体尺寸经过放大。

记录时间

t=0.00

实线来自积分样本；虚线圆锥曲线由初始位置与速度独立计算。两个彩色扇区分别从发射时刻和记录中点开始，各覆盖半个归一化时间单位；记录过短时，二者等量缩短。

r_{\mathrm p}=\frac{h^2}{\mu(1+e)},\qquad \frac{\mathrm d A}{\mathrm d t}=\frac{h}{2}

时间、距离与质量采用归一化单位。平面与圆环是坐标参考；显示尺寸不代表物理半径。能量误差除以初始势能的绝对值，因此总能量为零时仍有意义。回放不重新计算轨迹。

加入第三个天体 →NASA：引力与轨道运动

先抓重点

核心问题: 只看当前位置和速度，如何判断天体会返回还是逃逸？
一句话直觉: 比能量决定是否束缚，角动量决定轨道的形状和近日点。

核心数学模型

中心引力

\ddot{\mathbf r}=-\frac{GM}{r^3}\mathbf r

加速度方向永远指向中心，大小按 $1/r^2$ 衰减。

比机械能

\varepsilon=\frac{v^2}{2}-\frac{GM}{r}

$\varepsilon<0$ 为束缚椭圆， $\varepsilon=0$ 是抛物线边界， $\varepsilon>0$ 为双曲线逃逸。

常见难点

有引力也可以逃逸

容易误解只要引力一直存在，天体最终一定会回来。

正确理解引力随距离减弱；若总能量为正，天体可在速度逐渐降低时仍逃到无穷远。

圆轨道不是没有加速度

容易误解速率不变意味着加速度为零。

正确理解速度方向持续改变，因此存在始终指向中心的向心加速度。

动手实验

01
识别圆轨道条件
选择“圆轨道”，比较速度与引力箭头。
应该观察到： 两者近似垂直，半径稳定。
02
改变能量
保持发射半径，逐步提高初速，每次点击“生成新轨迹”。
应该观察到： 轨道从椭圆变长并接近逃逸边界。
03
跨过逃逸阈值
选择“逃逸”，查看轨道分类、预测近日点和守恒误差。
应该观察到： 比能量转正，预测曲线不再闭合。

轨道发射台

轨道是否遵守承诺？

轨道：用能量读懂圆锥曲线