引力 · 初态与演化

三体引力实验台

观察 8 字编舞、旋转的拉格朗日三角形，以及双星与来客的相遇。给一个天体微小的速度变化，将两组轨迹重叠回放，并用守恒量检查数值记录。

总能量 $0$

总动量大小 $0$

角动量 $0$

最近两体间距 $0$

相对基准的均方根距离 $0$

能量误差 / 初始势能尺度 $0$

基准和微扰轨迹独立积分，采用相同质量与时间。轨迹分离不等同于混沌证明，近距离接近也不会触发隐蔽重置。

记录时间

t=0.00

实线记录包含所选速度微扰，虚线基准使用相同质量且微扰为零。两者分别在初始静止的质心系中演化。分离量比较同一记录时间下、身份对应的三个天体。

D(t)=\sqrt{\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3}\left|\mathbf r_i(t)-\mathbf r_{i,0}(t)\right|^2}

时间、距离与质量采用归一化单位。平面与圆环是坐标参考；显示尺寸不代表物理半径。能量误差除以初始势能的绝对值，因此总能量为零时仍有意义。回放不重新计算轨迹。

先抓重点

\ddot{\mathbf r}_i=G\sum_{j\ne i}m_j\frac{\mathbf r_j-\mathbf r_i}{|\mathbf r_j-\mathbf r_i|^3}

每一步都要用所有天体的新位置重新计算两两引力。

\mathbf P=\sum_i m_i\mathbf v_i=\text{constant}

内部引力成对抵消，因此孤立系统质心应保持匀速。

容易误解既然没有公式，就不能预测三体运动。

正确理解数值积分能在有限时间内高精度预测；缺少的是适用于任意初态的简单表达式。

容易误解轨迹不规则说明能量或动量不守恒。

正确理解混沌轨迹仍受守恒量约束；守恒并不保证周期性。

01
观察特殊周期解
选择 8 字轨道并打开轨迹。
应该观察到： 三个等质量天体依次走过同一闭合曲线。
02
加入微扰
选择“微扰三角形”，改变速度微扰后重新生成轨迹，比较实线与虚线。
应该观察到： 分离大小随时间变化；有限时间的增长本身不能证明混沌，稳定轨道附近的小扰动也可能保持有界。
03
检查整体约束
观察白色质心标记以及能量、动量和角动量记录。
应该观察到： 轨迹复杂，但整体守恒量近似稳定。

两种起点，会相差多远？