L2 · 第 4 章

裂尖附近的应力与应力强度因子

靠近尖锐裂尖，各个应力分量都按到裂尖距离平方根的倒数增长，而且共用同一个幅值，叫应力强度因子。它的平方除以等效模量，等于能量释放率。从应力出发也好，从能量出发也好，得到的是同一个扩展判据。

Sandbox Physics · 2026-10-29

一个幅值决定裂尖附近的应力

把原点放在一条受拉张开的裂纹尖端。离裂尖很近时，各应力分量形式相同：一个幅值，除以距离的平方根，再乘一个只和角度有关的固定函数。这些角度函数对所有裂纹都一样，试样形状和载荷只通过幅值起作用。

这个幅值就是应力强度因子，单位是应力乘长度的平方根，所以其中必然含有试样的某个长度，通常是裂纹长度。大平板中的中心裂纹，应力强度因子等于远处应力乘圆周率与半长之积的平方根。板宽有限时，再乘一个由半长与半宽之比决定的修正因子。

\sigma_{yy}(r,\theta=0)=\frac{K_I}{\sqrt{2\pi r}},\qquad K_I=\sigma\sqrt{\pi a}\,F\!\left(\frac{a}{W}\right),\qquad F=\left(1-0.025\lambda^2+0.06\lambda^4\right)\sqrt{\sec\frac{\pi\lambda}{2}}

应力强度因子和能量释放率是同一个判据

流向裂尖的能量由裂尖附近的场携带，所以只用幅值就能算出能量释放率：应力强度因子的平方除以等效模量。薄板处于平面应力，等效模量就是杨氏模量；厚板处于平面应变，等效模量要再除以一减泊松比的平方。

代入中心裂纹，又回到第一章的结果：应力平方乘圆周率再乘半长，除以模量。对于受张开载荷、沿正前方扩展的裂纹，临界应力强度因子和断裂能只是同一种材料性质的两种写法。

G=\frac{K_I^2}{E'},\qquad K_{Ic}=\sqrt{E'G_c},\qquad E'_{\rm stress}=E,\qquad E'_{\rm strain}=\frac{E}{1-\nu^2}

完整例题

从光弹条纹读出应力强度因子

光弹材料薄片放在正交圆偏振片之间，主应力差等于材料条纹值除以厚度的整数倍时出现暗纹。裂尖附近，主应力差等于应力强度因子乘角度的正弦，再除以二倍圆周率与距离之积的平方根。每一级条纹都是绕着裂尖的一个小环，在裂尖正上方半径最大。

量出已知级数条纹环的最大半径，就能解出应力强度因子。环的半径与应力强度因子的平方成正比，载荷加倍，每一级条纹环都放大到四倍。实际测量中，平行于裂纹的均匀应力会让条纹环倾斜、拉长，而这一项不在单项近场公式里，所以精细测量要多拟合几项。这里的单项读法只是第一步估计。

\sigma_1-\sigma_2=\frac{K_I\,|\sin\theta|}{\sqrt{2\pi r}}=\frac{N f_\sigma}{t}\quad\Rightarrow\quad K_I=\frac{N f_\sigma}{t}\sqrt{2\pi r_{\max}}

断开区要小到什么程度

平方根形式的场不可能一直成立到裂尖。在金属里，凡是近场应力超过屈服应力的地方，材料就会屈服。令本章第一个公式中裂尖正前方的张开应力等于屈服应力，解出距离，就得到这个区域大小的第一步估计。它没有计入屈服材料转给周围材料的载荷，所以只给出量级。Bouchbinder、Fineberg 和 Marder 列出两条前提：离开裂尖后线弹性要成立，所有非线性过程都要限制在比裂纹和试样小得多的区域里。

这个区域不够小时，能量释放率作为能量流依然存在，但单一的临界值已经无法预测破坏。第六章会遇到这种情形：强度长度和缺口差不多大，起裂就从一个点变成一个区间。

r_p\approx\frac{1}{2\pi}\left(\frac{K_I}{\sigma_Y}\right)^2

带着问题动手

先预测，再改变，最后解释

在光弹性应力观察器里选带圆孔的平板。先预测：圆孔边缘哪里的条纹最密？
调高应力水平，数一数圆孔附近的条纹怎样变多。再打开应力—应变试验机，读出塑性试样的屈服应力。
解释为什么圆孔只把应力放大有限倍，尖锐裂纹却让应力无限增长；再用屈服应力估计单项裂尖场的适用范围。

看圆孔周围的应力集中测量模量与屈服应力让裂纹扩展，追踪外力做功的去向

断裂实验运行的是无量纲单位下的简化二维模型。每个实验在模型说明里写明模型、单位和适用范围，并可导出读数背后的记录。

试着自己解释

1. 平面应变的厚板和平面应力的薄板，应力强度因子相同，泊松比为 0.3。哪个的能量释放率更大？

展开答案与解释

薄板更大。平面应变的等效模量要除以 0.91，所以厚板的能量释放率是薄板的 0.91 倍。

2. 光弹试样的载荷加倍，第三级条纹环的最大半径怎样变化？

展开答案与解释

变为四倍，因为环的半径与应力强度因子的平方成正比。

3. 中心裂纹的半长等于板半宽的一半，有限宽度修正让应力强度因子增大多少？

展开答案与解释

这时比值为二分之一。多项式因子约为 0.9975，四分之一圆周率正割的平方根约为 1.189，修正因子约为 1.19。

F\!\left(\tfrac12\right)=\left(1-0.025\cdot\tfrac14+0.06\cdot\tfrac1{16}\right)\sqrt{\sec\tfrac{\pi}{4}}\approx0.9975\times1.189\approx1.19

可以放在旁边读的来源

Bouchbinder, Fineberg & Marder, Dynamics of Simple Cracks, arXiv:0911.0173; Annual Review of Condensed Matter Physics 1, 371–395 (2010)
第 1 节方程（1）至（3）用刚性夹紧的长条定义 Griffith 点和单位面积表面能。第 2 节写明能量平衡、裂尖附近按距离平方根倒数增长的应力、能量释放率与应力强度因子的关系、局部对称原则，以及线弹性断裂力学的适用前提。综述还报告 PMMA 和玻璃中约在 0.4 倍 Rayleigh 波速出现微分叉。第 3 节讨论裂尖处的小尺度，包括内聚区和相场模型。课程引用这些结论，不使用综述中的数据。
Sargado, Welch & Lüthje, Approximate formulas for the energy release rate of a crack perpendicular to a material interface, arXiv:2210.06315v1 (2022)
方程（1）至（3）重述大平板中心裂纹释放的能量和能量释放率，并给出平面应力与平面应变下的有效模量。方程（29）转引 Tada、Paris 和 Irwin 的中心裂纹有限宽度正割修正。课程把它作为中心裂纹基准的参考值。1973 年的手册原文没有查阅。
Tanné, Li, Bourdin, Marigo & Maurini, Crack nucleation in variational phase-field models of brittle fracture, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 110, 80–99 (2018); preprint hal-01568702
第 2 节给出 AT2 能量（方程 2 取 AT2 形式）、特征长度以及临界应力强度因子与断裂能的关系（方程 5），表 1 给出均匀杆强度。第 3.1 节方程（7）至（11）给出 V 形缺口的奇异场；缺口闭合成裂纹时，其幅值就是 I 型应力强度因子。第 4 节通过尺寸效应把正则化长度当作材料长度。基准 B4 用表 1 检验浏览器模型的均匀杆强度。