Maxwell 液体的应力松弛、蠕变与 Weissenberg 数

弹簧与阻尼器串联

弹性固体的剪切应力正比于应变， $\tau=G\gamma$ ；牛顿液体的剪切应力正比于剪切率， $\tau=\eta\dot\gamma$ 。把一根弹簧和一个阻尼器串起来，两者受同样的力，总应变是两段应变之和。对时间求导，再消去各段的应变，就得到 Maxwell 液体的方程。

方程里出现一个时间尺度 $\lambda=\eta/G$ ，叫弛豫时间。过程比 $\lambda$ 慢得多时， $\lambda\dot\tau$ 一项可以忽略，材料就是黏度为 $\eta$ 的液体；过程比 $\lambda$ 快得多时，阻尼器来不及动，材料就是模量为 $G$ 的固体。

\tau+\lambda\dot\tau=\eta\dot\gamma,\qquad \lambda=\frac{\eta}{G}

Morozov 与 Spagnolie 的式 (1.49)。他们的式 (1.51) 把它改写成对过去剪切率的积分：此刻的应力是过去各时刻剪切率的加权和，相隔时间

s

的权重按

e^{-s/\lambda}

衰减。

来源：A. Morozov and S. E. Spagnolie

应力松弛与蠕变

应力松弛实验：在 $t=0$ 突然加上剪切应变 $\gamma_0$ 并保持不动。跳变的一瞬间阻尼器来不及动，弹簧承担全部应变，应力为 $G\gamma_0$ 。此后剪切率为零，方程变成 $\tau+\lambda\dot\tau=0$ ，应力按指数衰减，经过一个弛豫时间剩下 $1/e$ 。

蠕变实验：突然加上剪切应力 $\tau_0$ 并保持。弹簧立刻伸长 $\tau_0/G$ ，阻尼器以 $\tau_0/\eta$ 的速率一直流下去，应变随时间线性增长。撤去应力后，弹簧那一段收回，阻尼器流过的那一段留下。

\tau(t)=G\gamma_0\,e^{-t/\lambda},\qquad \gamma(t)=\frac{\tau_0}{G}+\frac{\tau_0}{\eta}\,t

左式是阶跃应变之后的应力，右式是恒定应力下的应变。两者都由式 (1.49) 直接积分得到。

来源：A. Morozov and S. E. Spagnolie

启动剪切与溶剂的贡献

高分子溶液的应力有两部分。溶剂黏度 $\eta_s$ 的那部分随剪切率即时变化；高分子那部分黏度为 $\eta_p$ ，按弛豫时间为 $\lambda$ 的 Maxwell 方程变化。零剪切黏度是两者之和 $\eta_0$ ，溶剂所占份额记作 $\beta$ 。

启动剪切实验：液体原本静止，从 $t=0$ 起以恒定剪切率 $\dot\gamma$ 剪切。溶剂应力立刻达到 $\eta_s\dot\gamma$ ，高分子应力在几个弛豫时间内长到 $\eta_p\dot\gamma$ 。下一章会看到，这正是 Oldroyd-B 模型在简单剪切中的剪切应力；同一个模型还会给出沿流动方向的法向应力，这是 Maxwell 的标量方程写不出来的。

\tau(t)=\eta_s\dot\gamma+\eta_p\dot\gamma\left(1-e^{-t/\lambda}\right),\qquad \eta_0=\eta_s+\eta_p,\quad \beta=\frac{\eta_s}{\eta_0}

Morozov 与 Spagnolie 式 (1.80) 的 Oldroyd-B 模型在简单剪切中给出同样的剪切应力。

来源：A. Morozov and S. E. Spagnolie

弹性与惯性各占多少

Weissenberg 数 $\mathrm{Wi}=\lambda\dot\gamma$ 是弛豫时间与流动拉伸材料所需时间之比。 $\mathrm{Wi}\ll1$ 时高分子来得及弛豫，溶液表现为黏度 $\eta_0$ 的普通液体； $\mathrm{Wi}$ 到了 1 的量级，弹性应力就和黏性应力相当。另有 Deborah 数，比较的是弛豫时间与观察时长，用来区分“看起来像固体”还是“看起来像液体”。

Reynolds 数比较惯性和黏性。Purcell 把它写成尺寸乘速度乘密度再除以黏度，游动微生物的 Reynolds 数只有 $10^{-4}$ 到 $10^{-5}$ 。两个数相除，速度消掉了：比值只取决于流体性质和装置尺寸，尺寸越小，弹性越占上风。

Groisman 与 Steinberg 把整套旋流装置缩小到四分之一，在同一 Weissenberg 数下测到了同样的阻力曲线。剪切率相同时速度只有原来的四分之一，Reynolds 数降到十六分之一，而结果不变，说明他们看到的不稳定与惯性无关。

\mathrm{Wi}=\lambda\dot\gamma,\qquad \mathrm{Re}=\frac{\rho UL}{\eta},\qquad \frac{\mathrm{Wi}}{\mathrm{Re}}=\frac{\lambda\eta}{\rho L^2}

Weissenberg 数按 Morozov 与 Spagnolie 第 3 节定义，Reynolds 数按 Purcell 的写法。最后一式取剪切率为速度除以尺寸。

来源：A. Morozov and S. E. Spagnolie · E. M. Purcell · A. Groisman and V. Steinberg

完整例题：弹性湍流实验所用溶液的启动剪切

Groisman 与 Steinberg 2000 年的溶液：溶剂黏度 $\eta_s=0.324\,\mathrm{Pa\,s}$ ，剪切率每秒 1 时溶液黏度 $0.424\,\mathrm{Pa\,s}$ ，弛豫时间 $\lambda=3.4\,\mathrm{s}$ ，由振荡实验中应力与应变的相位差测得。把高分子部分当作一个 Maxwell 成分： $\eta_p=0.100\,\mathrm{Pa\,s}$ ，模量 $G=\eta_p/\lambda=0.0294\,\mathrm{Pa}$ 。

以 $\dot\gamma=1\,\mathrm{s^{-1}}$ 启动， $\mathrm{Wi}=3.4$ 。剪切应力一开始是 $0.324\,\mathrm{Pa}$ ；到 $t=\lambda$ 时为 $0.324+0.100\,(1-e^{-1})=0.387\,\mathrm{Pa}$ ；最终 $0.424\,\mathrm{Pa}$ 。高分子应力达到稳态值的 99% 需要 $\lambda\ln100=15.7\,\mathrm{s}$ ，所以在这种溶液里测稳态黏度，每改一次转速都要等上十几秒。

停止转动后，溶剂应力立刻消失，高分子应力按 $e^{-t/\lambda}$ 衰减；10 s 后剩 $0.100\,e^{-10/3.4}=5.28\times10^{-3}\,\mathrm{Pa}$ ，约为原来的 5%。

这里有两处近似。论文给的溶液黏度只对应每秒 1 的剪切率，真实溶液的黏度会随剪切率变化；单一弛豫时间也只是对高分子众多弛豫模式的概括。这些数字用来判断量级，不能当作该溶液的精确流变曲线。

来源：A. Groisman and V. Steinberg · A. Morozov and S. E. Spagnolie

到实验里试一试

保持应变，看应力松弛

选择“黏弹性保持”预设，观察每次保持应变期间，应力从峰值往下掉的过程。
这台仪器的材料是一根平衡弹簧并联一个 Maxwell 臂，应力不会降到零，只会降到平衡弹簧承担的那一部分。估计应力的“多出部分”降到 $1/e$ 用了多久，与 Maxwell 弛豫时间的设定值比较。
先预测，再验证：把 Maxwell 弛豫时间从 3 s 调到 0.3 s，再调到 20 s，加载斜坡段的视在斜率会怎样变？

稳态黏度从哪里来

在牛顿液体预设下读出扭矩、剪切率和黏度；改变转速，确认黏度不变。
换到剪切变稀预设，看黏度怎样随转速下降。这台流变仪显示的是稳态值：黏度只取决于此刻的剪切率，没有弛豫时间，也没有法向应力。
用例题中的溶液估计：若把剪切率从零突然加到每秒 1，要等多久读数才稳定？答案大约是 $4.6\lambda$ 。

练习与解答

对 $G=10\,\mathrm{Pa}$ 、 $\lambda=2\,\mathrm{s}$ 的 Maxwell 液体突然加上应变 0.5 并保持。刚加上时和 4 s 后的应力各是多少？
展开解答
刚加上时 $G\gamma_0=5\,\mathrm{Pa}$ ；4 s 后 $5\,e^{-2}=0.677\,\mathrm{Pa}$ 。两个弛豫时间后只剩约 14%。
同一液体突然加上 $2\,\mathrm{Pa}$ 的剪切应力并保持 6 s，然后撤去。撤去前应变是多少？撤去后能收回多少？
展开解答
黏度 $\eta=G\lambda=20\,\mathrm{Pa\,s}$ 。应变为 $2/10+2\times6/20=0.2+0.6=0.8$ 。撤去后弹簧那部分 0.2 收回，阻尼器流过的 0.6 留下。
例题中的溶液若以 $\dot\gamma=0.1\,\mathrm{s^{-1}}$ 剪切，Weissenberg 数是多少？弹性重要吗？
展开解答
$\mathrm{Wi}=3.4\times0.1=0.34$ ，小于 1。高分子来得及弛豫，稳态下溶液基本表现为黏性液体；不过启动时仍要等几个弛豫时间，即几十秒，应力才稳定。
把一套装置的所有尺寸缩小到十分之一，流体不变，并保持剪切率不变。Reynolds 数和 Weissenberg 数各怎样变？
展开解答
剪切率不变，Weissenberg 数不变。速度和尺寸各缩小到十分之一，Reynolds 数降到百分之一。两者之比 $\lambda\eta/(\rho L^2)$ 增大一百倍，惯性更可以忽略。

来源与复算范围

A. Morozov and S. E. Spagnolie, Introduction to complex fluids, in Complex Fluids in Biological Systems (Springer, 2015), chapter 1
第 3 节：Weissenberg 数定义为弛豫时间乘剪切率；式 (1.27) 为广义牛顿液体。第 4.1 节：式 (1.47)—(1.51)，弹簧、阻尼器、Maxwell 液体及其记忆积分，弛豫时间等于黏度除以模量。式 (1.72)：上随体导数；式 (1.80)：Oldroyd-B；式 (1.86)—(1.87)：FENE-P。第 4.4 节：Hooke 哑铃，式 (1.98)—(1.110)。式 (1.116)：Oldroyd-B 稳态剪切的法向应力。式 (1.117)—(1.125)：环向应力与锥板法向力。式 (1.128)—(1.131)：单轴伸长，以及 Oldroyd-B 在伸长率达到弛豫时间倒数一半时的发散。书中没有启动过程的解，也没有平面伸长；这两部分由课程自行推导。
E. M. Purcell, Life at low Reynolds number, American Journal of Physics 45, 3–11 (1977)
把 Reynolds 数写成尺寸乘速度乘密度再除以黏度；游动微生物约为 1e-4 到 1e-5，细菌停止推进后只滑行约 0.1 埃。扇贝定理：低 Reynolds 数下只有形状变化的顺序起作用，快慢无关。仅用于说明惯性可以忽略的背景。据扫描重印本阅读，只读了期刊第 3–6 页。
A. Groisman and V. Steinberg, Elastic turbulence in a polymer solution flow, Nature 405, 53–55 (2000); arXiv:nlin/0104052v1
arXiv v1，已通读。图 1：转动上板半径 38 mm，杯半径 43.6 mm，液深 10 mm，12 °C 的旋流装置。方法：溶剂为 65% 蔗糖加 1% 氯化钠，黏度 0.324 Pa s；加入分子量 1.8e7 的聚丙烯酰胺 80 ppm；溶液在每秒 1 的剪切率下黏度 0.424 Pa s；弛豫时间 3.4 s。图 2：剪切率约每秒 1 处发生转变（Weissenberg 数 3.5，Reynolds 数约 0.3），有滞回；阻力最多约为层流的 12 倍（液深 10 mm）和 19 倍（20 mm）。图 3：Weissenberg 数为 13 时的快照。图 4：亮度谱。图 5：速度谱，剪切率每秒 4 时在约一个数量级内呈指数 −3.5 的幂律。正文：Reynolds 应力不到阻力的 0.5%。