弯曲流线上的法向应力怎样引发弹性失稳

环向应力与爬杆

在旋转流动里，流线是一圈圈的圆。第一法向应力差让每一圈流线都像一根拉紧的环，环的张力指向圆心，于是压力从外往里升高。Oldroyd-B 没有第二法向应力差，径向压力梯度就是 $N_1/r$ 。

液体被向轴心挤，在搅拌杆周围就只能往上走，这就是 Morozov 与 Spagnolie 图 1.10(b) 所示的爬杆现象。牛顿液体在同样的搅拌下，惯性把液体甩向外侧，液面中心下凹。

-\frac{\partial p}{\partial r}=\frac{N_1+2N_2}{r}

Morozov 与 Spagnolie 的式 (1.117)—(1.119)，适用于惯性可以忽略的旋转流动。

来源：A. Morozov and S. E. Spagnolie

锥板流变仪上的法向力

锥板流变仪的间隙随半径线性增大，整块样品的剪切率相同。环向应力造成的压力分布积分起来，就是把锥和板推开的总力。量出这个力，就得到 $N_1$ 。

平行平板之间的简单剪切相当于曲率半径趋于无穷，环向应力消失。Morozov 与 Spagnolie 指出，平面剪切和 Taylor–Couette 流都不能用这种办法测出第一法向应力差，所以要用锥板几何。

F=\frac{\pi R^2}{2}\,N_1

Morozov 与 Spagnolie 的式 (1.125)，锥板半径为 R。

来源：A. Morozov and S. E. Spagnolie

一个失稳参数

惯性失稳的 Taylor 数比较离心力与黏性。Groisman 与 Steinberg 2004 年的文章写出它的弹性对应物 $K$ ：沿弯曲流线的弹性张力，比上抑制扰动的黏性。它由高分子黏度占比、间隙与曲率半径之比，以及 Weissenberg 数的平方相乘而成。对 Couette–Taylor 流，Weissenberg 数取 $\lambda\Omega R/d$ 。

Datta 等人的综述式 (1) 给出 Pakdel 与 McKinley 的判据，它写成一般流线的形式：流线速度 $U$ 、曲率半径 $\mathcal R$ ，以及第一法向应力差与剪切应力之比。把 Oldroyd-B 的 $N_1/\tau=2(\eta_p/\eta)\mathrm{Wi}$ 和窄间隙 Couette–Taylor 流的 $U=\Omega R$ 、 $\mathcal R=R$ 代入，得到 $M^2=2K$ ：两个判据说的是同一件事。

两篇文章都没有给出普适的临界值。Datta 等人的综述说明，Taylor–Couette 流和锥板流没有公认的临界 $M$ ；十字槽模拟中，局部 $M$ 的最大值超过约 4 到 5 时，流动失去对称或变得随时间变化。

K=\frac{\eta_p}{\eta}\,\frac{d}{R}\,\mathrm{Wi}^2,\qquad M^2=\frac{\lambda U}{\mathcal R}\,\frac{N_1}{|\tau|},\qquad M^2=2K

前一式见 Groisman 与 Steinberg 2004 年文章第 2 节，中间一式见 Datta 等人的式 (1)。最后一个等式只对窄间隙中的 Oldroyd-B 液体成立，是课程的推导，假定

\eta

为总黏度、剪切应力取总应力。

来源：A. Groisman and V. Steinberg · S. S. Datta et al.

把实验数据代进去

Groisman 与 Steinberg 2000 年的旋流： $\eta_p/\eta=0.100/0.424=0.236$ ， $d/R=10/38=0.263$ ，转变发生在 $\mathrm{Wi}=3.5$ ，于是 $K=0.236\times0.263\times3.5^2=0.760$ 。

2001 年的弯曲流道：溶剂黏度 0.153 Pa s，溶液黏度 0.198 Pa s， $\eta_p/\eta=0.227$ ；流道宽 3 mm，内半径 3 mm， $d/R=1$ ；临界 $\mathrm{Wi}=3.2$ ，于是 $K=0.227\times1\times3.2^2=2.33$ 。

两个数相差三倍。两篇文章对 Weissenberg 数的定义不同：前者用转盘边缘的剪切率，后者用流量除以流道宽度的立方再乘 4；几何也不同。这个参数用来比较同一类几何里谁先失稳，不能当作跨几何通用的阈值。

Groisman 与 Steinberg 2004 年的第 6 节还比较了三种几何中弹性湍流的阻力：两板之间的流动增大约 20 倍，Couette–Taylor 流约 4.2 倍，弯曲流道约 2.8 倍。

来源：A. Groisman and V. Steinberg · A. Groisman and V. Steinberg · A. Groisman and V. Steinberg

完整例题：弹性湍流溶液的法向应力

沿用第一章的溶液， $\eta_p=0.100\,\mathrm{Pa\,s}$ ， $\lambda=3.4\,\mathrm s$ ，按 Oldroyd-B 估计每秒 1 的剪切率下的稳态法向应力差： $N_1=2\times0.100\times3.4\times1^2=0.68\,\mathrm{Pa}$ 。总剪切应力是 0.424 Pa，所以 $N_1/\tau=1.60$ ，等于 $2\times0.236\times3.4$ 。法向应力已经比剪切应力大。

若放进半径 $25\,\mathrm{mm}$ 的锥板流变仪，推开锥板的力为 $\pi\times0.025^2\times0.68/2=6.68\times10^{-4}\,\mathrm N$ ，约 0.67 mN，相当于约 68 mg 物体的重量。这样小的力需要灵敏的法向力传感器。

这里的数是 Oldroyd-B 的估计。真实溶液会剪切变稀，法向应力随剪切率的增长也比平方慢；Groisman 与 Steinberg 的论文没有给出法向应力的测量值。

来源：A. Groisman and V. Steinberg · A. Morozov and S. E. Spagnolie

到实验里试一试

读出法向应力与剪切应力之比

把弹簧律设为“Oldroyd-B（线性弹簧）”，溶剂黏度占比 0.5，Weissenberg 数 2。
在详细读数里找“剪切：法向应力差与剪应力之比”。它是高分子部分的比值 $2\mathrm{Wi}$ ；乘以高分子黏度占比 $1-\beta$ ，就是判据里用的、以总剪切应力为分母的比值。
切换到“FENE-P（有限长链）”，把最大伸长的平方调到 20，再把 Weissenberg 数调高。比值还随 Weissenberg 数线性增长吗？

在四辊流中找弯曲与拉伸

这个实验的流动是四个涡围着一个驻点，流线在涡周围弯曲，在驻点处被拉伸。它代替了 2001 年实验中的弯曲流道，但没有流道宽度和半径，所以本章的失稳参数不能直接算。
先在较低的 Weissenberg 数下观察高分子拉伸最强的位置，再提高 Weissenberg 数比较。拉伸集中在哪里：弯曲最强的涡周围，还是驻点向外的那条线？

练习与解答

Oldroyd-B 溶液 $\eta_p/\eta=0.3$ ，在窄间隙 Couette–Taylor 流中 $d/R=0.1$ 。若某一几何的失稳发生在 $K=1$ ，临界 Weissenberg 数是多少？
展开解答
$\mathrm{Wi}=\sqrt{K/(0.3\times0.1)}=\sqrt{33.3}=5.77$ 。这只是演示计算：真实阈值要由同一几何的实验或稳定性分析给出。
为什么平行平板之间的简单剪切测不出第一法向应力差？
展开解答
平行平板之间的流线是直线，曲率为零，沿流线的张力没有指向任何方向的合力，不会在板上产生额外的法向力。锥板几何的流线是圆，环向应力才把压力分布传到板面上。
第一章例题的溶液在旋流装置中以 $\mathrm{Wi}=3.5$ 运转。若高分子黏度占比减半，其他不变， $K$ 要回到原值，Weissenberg 数要提高到多少？
展开解答
$K$ 正比于高分子黏度占比乘 $\mathrm{Wi}^2$ 。占比减半，Weissenberg 数要乘 $\sqrt2$ ，即约 4.95。
把 2000 年与 2001 年两组 K 值的差别归于“两种溶液不同”是否合适？
展开解答
不合适。两组溶液的高分子都是 80 ppm 的聚丙烯酰胺，黏度占比也相近；差别主要来自 Weissenberg 数的定义和几何不同。比较临界参数前，要先确认两篇文章用的是同一个定义。

来源与复算范围

A. Morozov and S. E. Spagnolie, Introduction to complex fluids, in Complex Fluids in Biological Systems (Springer, 2015), chapter 1
第 3 节：Weissenberg 数定义为弛豫时间乘剪切率；式 (1.27) 为广义牛顿液体。第 4.1 节：式 (1.47)—(1.51)，弹簧、阻尼器、Maxwell 液体及其记忆积分，弛豫时间等于黏度除以模量。式 (1.72)：上随体导数；式 (1.80)：Oldroyd-B；式 (1.86)—(1.87)：FENE-P。第 4.4 节：Hooke 哑铃，式 (1.98)—(1.110)。式 (1.116)：Oldroyd-B 稳态剪切的法向应力。式 (1.117)—(1.125)：环向应力与锥板法向力。式 (1.128)—(1.131)：单轴伸长，以及 Oldroyd-B 在伸长率达到弛豫时间倒数一半时的发散。书中没有启动过程的解，也没有平面伸长；这两部分由课程自行推导。
A. Groisman and V. Steinberg, Elastic turbulence in a polymer solution flow, Nature 405, 53–55 (2000); arXiv:nlin/0104052v1
arXiv v1，已通读。图 1：转动上板半径 38 mm，杯半径 43.6 mm，液深 10 mm，12 °C 的旋流装置。方法：溶剂为 65% 蔗糖加 1% 氯化钠，黏度 0.324 Pa s；加入分子量 1.8e7 的聚丙烯酰胺 80 ppm；溶液在每秒 1 的剪切率下黏度 0.424 Pa s；弛豫时间 3.4 s。图 2：剪切率约每秒 1 处发生转变（Weissenberg 数 3.5，Reynolds 数约 0.3），有滞回；阻力最多约为层流的 12 倍（液深 10 mm）和 19 倍（20 mm）。图 3：Weissenberg 数为 13 时的快照。图 4：亮度谱。图 5：速度谱，剪切率每秒 4 时在约一个数量级内呈指数 −3.5 的幂律。正文：Reynolds 应力不到阻力的 0.5%。
A. Groisman and V. Steinberg, Efficient mixing at low Reynolds numbers using polymer additives, Nature 410, 905–908 (2001); arXiv:nlin/0104050v1
arXiv v1，已通读。图 1：宽 3 mm 的流道，由 60 个内外半径为 3 mm 和 6 mm 的半圆环连成。溶剂黏度 0.153 Pa s，密度每立方米 1320 kg；聚丙烯酰胺 80 ppm；溶液在每秒 4 的剪切率下黏度 0.198 Pa s；弛豫时间 1.4 s；染料扩散系数约每秒 8.5e-7 平方厘米。Weissenberg 数与 Reynolds 数都由流量和流道宽度定义。Weissenberg 数到 3.2 之前流动保持定常（Reynolds 数 0.06）；混合实验在 6.7 下进行。图 2：速度谱随波数呈指数 −3.3 的幂律。图 4：约 15 个单元、约 120 s 内完成混合，比扩散时间快三个数量级。
A. Groisman and V. Steinberg, Elastic turbulence in curvilinear flows of polymer solutions, New Journal of Physics 6, 29 (2004)
第 2 节：曲线流动中的弹性失稳由参数 K 控制，它由聚合物黏度占比、间隙与半径之比和 Weissenberg 数的平方相乘而成，是 Taylor 数的弹性对应物；论文没有给出 K 的普适临界值。第 4.2 节：Couette–Taylor 流的转变约在 Weissenberg 数 4，两板间流动在间隙半径比 0.26 和 0.52 时分别为 3.2 和 2；在所测最高的 Weissenberg 数下，Couette–Taylor 流的阻力增大 4.2 倍，两板间为 11 倍和 19 倍。第 5 节：弯曲流道中，Weissenberg 数约 2 时可能出现定常涡，3.2 时开始不规则运动（Reynolds 数 0.06）；100 µm 的微流道从估计的 Weissenberg 数 1.3 起阻力增长，约 9 时达到 2.8 倍。第 6 节把三种几何中阻力的增长概括为约 20、4.2 和 2.8 倍，依次对应两板间流动、Couette–Taylor 流和流道。
S. S. Datta et al., Perspectives on viscoelastic flow instabilities and elastic turbulence, arXiv:2108.09841v1 (2021); Physical Review Fluids 7, 080701 (2022)
arXiv v1，2021 年 8 月 22 日；未核对期刊版本。第 II 节式 (1)：Pakdel–McKinley 判据，把流线曲率与法向应力和剪切应力之比结合起来。文中没有给出 Taylor–Couette 或锥板流的临界值。第 III 节：十字槽流动的模拟中，这一判据的局部最大值超过约 4 至 5 时，流动失去对称或变得随时间变化；式 (2) 与表 II 用构象张量写出 Oldroyd-B、FENE-P 等模型，便于检查正定性并采用对数构象格式；一个二维 Taylor–Couette 模拟在 Weissenberg 数约 10 处变为混沌。研讨会总结指出，在高 Weissenberg 数下 Oldroyd-B 几乎从来不是定量准确的。