L4 · 第 8 章

读懂弹性湍流：没有惯性的混乱流动有哪些证据，还有什么没解决

Sandbox Physics · 2026-10-29

把很少一点长链高分子加进黏稠的糖浆，在 Reynolds 数远小于 1 的慢速流动里，流动阻力能涨到层流的十几倍，速度随时间无规则地起伏，染料几分钟就混匀。Groisman 与 Steinberg 把这种状态叫作弹性湍流。本章按实验、频谱、混合、判据、数值模型的顺序，逐项看这些说法的证据，最后列出综述中仍然开放的问题。

没有惯性，阻力却涨了十几倍

Groisman 与 Steinberg 2000 年的装置是一只杯子和一块转动的上板：板半径 38 mm，杯半径 43.6 mm，液深 10 mm。溶剂是蔗糖水，黏度 $0.324\ \mathrm{Pa\,s}$ ；加入 80 ppm 聚丙烯酰胺后，弛豫时间 $\lambda=3.4\ \mathrm{s}$ 。剪切率约 $1\ \mathrm{s^{-1}}$ 时流动突然转变，此时 $\mathrm{Wi}=3.5$ ，Reynolds 数只有约 0.3，转变还有滞回。

转变之后，维持转动所需的应力最多达到同样黏度层流的约 12 倍；液深加到 20 mm 时约 19 倍。牛顿液体要在同一装置里涨到 19 倍，Reynolds 数需要约 2 万。

额外的阻力从哪里来？惯性湍流里它来自 Reynolds 应力。这里作者用测得的速度估计，Reynolds 应力不到阻力的 0.5%；溶剂黏性应力的平均值又与层流相同。剩下能承担这部分阻力的只有高分子的弹性应力。

\mathrm{Wi}=\frac{\lambda V}{L},\qquad \mathrm{Re}=\frac{VL}{\nu},\qquad \frac{\mathrm{Wi}}{\mathrm{Re}}=\frac{\lambda\nu}{L^{2}}

Groisman 与 Steinberg 2000 年的定义，

\nu

为运动黏度。比值与流速无关：液体越黏、弛豫越慢、装置越小，越容易在弹性起作用时仍然没有惯性。

来源：A. Groisman and V. Steinberg

频谱说明它光滑而混乱

转变后，一点的速度随时间无规则起伏。速度的功率谱在约一个数量级内呈幂律，2000 年旋流实验的指数约为 $-3.5$ ；2001 年弯曲流道中，按 Taylor 假设把时间换成空间，空间谱的指数约为 $-3.3$ 。

指数比 $-3$ 更陡有一个直接后果：速度梯度主要来自最大的尺度。速度梯度的均方是 $k^2E(k)$ 的积分， $E(k)\propto k^{-\alpha}$ 且 $\alpha>3$ 时这个积分在高波数收敛。流场在空间上光滑，在时间上随机。Groisman 与 Steinberg 2004 年把它比作惯性湍流中比 Kolmogorov 耗散尺度还小的那部分流动。

这也意味着弹性湍流不是惯性湍流的翻版：没有从大涡到小涡的能量级串，小尺度上也看不到 $k^{-5/3}$ 的谱。

\int_{k_0}^{k_{\max}}k^{2}\,k^{-\alpha}\,dk=\frac{k_0^{3-\alpha}-k_{\max}^{3-\alpha}}{\alpha-3}\;\xrightarrow{\;k_{\max}\to\infty\;}\;\frac{k_0^{3-\alpha}}{\alpha-3}\qquad(\alpha>3)

课程的推导：谱比

k^{-3}

陡时，速度梯度的均方由最低波数

k_0

附近决定。

来源：A. Groisman and V. Steinberg · A. Groisman and V. Steinberg · A. Groisman and V. Steinberg

混合比扩散快三个数量级

2001 年的流道宽 3 mm，由 60 个半圆环连成。溶液弛豫时间 1.4 s，染料扩散系数约 $8.5\times10^{-7}\ \mathrm{cm^2\,s^{-1}}$ 。Weissenberg 数到 3.2 之前流动保持定常；在 6.7 下，两股液体大约走过 15 个半圆环、约 120 s 就混匀。

只靠分子扩散，混过 3 mm 的宽度要一天以上（见下式）。改用更黏、扩散更慢的溶剂，在同一 Weissenberg 数下混合效果不变，说明起作用的是高分子造成的流动，不是惯性，也不是扩散。

t_{\mathrm{diff}}=\frac{d^{2}}{D}=\frac{(0.3\ \mathrm{cm})^{2}}{8.5\times10^{-7}\ \mathrm{cm^{2}\,s^{-1}}}\approx1.1\times10^{5}\ \mathrm{s},\qquad \frac{120\ \mathrm{s}}{t_{\mathrm{diff}}}\approx1\times10^{-3}

用 Groisman 与 Steinberg 2001 年的数计算；比值正是他们说的“三个数量级”。

来源：A. Groisman and V. Steinberg

判据给出趋势，不给通用阈值

第六章的参数 $K$ 和 Pakdel–McKinley 判据都说明，弯曲流线加上法向应力会推动失稳。但实际的转变点随几何而变。Groisman 与 Steinberg 2004 年报告：两板间流动在间隙与半径之比为 0.26 和 0.52 时，分别在 Weissenberg 数 3.2 和 2 处转变；Couette–Taylor 流约在 4；弯曲流道在 2 左右可能出现定常涡，到 3.2 才开始不规则运动。

阻力的增长也不同。论文总结为：两板间约 20 倍，Couette–Taylor 流约 4.2 倍，流道约 2.8 倍。Datta 等人的综述给出十字槽模拟中判据的局部最大值约 4 至 5，但没有给出 Taylor–Couette 和锥板流的临界值。

所以读到“临界 Weissenberg 数为某值”时，要先问：在哪种几何，怎样定义的 Weissenberg 数，用什么溶液。

来源：A. Groisman and V. Steinberg · S. S. Datta et al.

四辊模型能回答到哪一步

实验里看不到高分子应力场，数值模型可以。第七章的四辊模型给出了对称破缺阈值和振荡周期；Thomases、Shelley 与 Thiffeault 还在 Weissenberg 数 10 的振荡流里放入示踪粒子，测得有效扩散系数约 0.025、有限时间 Lyapunov 指数约 0.014，并在一次涡旋轮换的运行中看到四个象限的粒子在 t 约 3000 后接近各占四分之一。

课程用较粗的离散重算了这个模型，下面的数都是本路线的数值结果，不是实验数据。在 $64^2$ 网格、 $\nu_p=10^{-3}$ 下，阈值为 4.86； $128^2$ 网格和时间步长减半都给出 4.86，与论文的 4.8 到 4.9 一致。Weissenberg 数为 10 时，对称约在 $t=210$ 破缺；在 1000 到 2000 之间，探针速度的两个周期约为 288 和 56，论文为 330 和 55；三种离散的探针曲线在 $t=2000$ 前相差不到千分之几。

应力扩散改变结果： $\nu_p=3\times10^{-3}$ 时阈值升到 5.09，Weissenberg 数 10 的流动最后停在不对称的定常态； $10^{-2}$ 时阈值为 6.64，对称到 $t\approx590$ 才破缺。在这个范围内，扩散越大越难破缺。这与 Gupta 和 Vincenzi“扩散造成破缺”的结论方向相反，但他们比较的是零扩散和另一种外力；本课程没有检验 $\nu_p\to0$ 的极限。

还有一项检查没有通过： $64^2$ 、 $\nu_p=10^{-3}$ 时，构象张量的最小本征值在起步阶段降到约 −4.4，说明这个网格分辨不了最细的应力带； $128^2$ 时它保持为正。混合也只完成了一部分：示踪粒子释放后，混合指数稳定在约 0.66，对角象限的粒子在第一象限只占约 6%。

来源：B. Thomases · A. Gupta and D. Vincenzi · Sandbox Physics FR26

还没有解决的问题

Datta 等人 2022 年的综述总结了一次研讨会的讨论，下面三条与本课程直接相关。

第一，本构模型。弹性失稳通常出现在高 Weissenberg 数，这时 Oldroyd-B 在剪切和伸长中几乎都不定量，FENE、Giesekus、PTT 等扩展也一样。要理解弹性失稳，就要同时改进流变模型。

第二，二维 Taylor–Couette 流的本征谱几乎没有研究过，而那里在 Weissenberg 数约 10、大间隙比下已经看到失稳的开端。

第三，Lagrange 观点。已知的纯弹性失稳机制都离不开剪切，流动都是测黏流动；而单个高分子在伸长流中的线团—伸展转变陡峭且有滞回，依赖它经历的历史。流体微团沿路径的历史怎样进入失稳，还有待研究。第七章的应力扩散之争，也属于这类数值上尚未定论的问题。

来源：S. S. Datta et al. · A. Gupta and D. Vincenzi

完整例题：流道实验真的没有惯性吗

Groisman 与 Steinberg 2001 年用 $\mathrm{Wi}=\lambda\,(4Q/d^{3})$ 和 $\mathrm{Re}=2Q\rho/(d\eta)$ 。两者相除，流量消去： $\mathrm{Wi}/\mathrm{Re}=2\lambda\eta/(\rho d^{2})$ 。

代入 $\lambda=1.4\ \mathrm{s}$ 、 $\eta=0.198\ \mathrm{Pa\,s}$ 、 $\rho=1320\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ 、 $d=3\times10^{-3}\ \mathrm{m}$ ，得 $\mathrm{Wi}/\mathrm{Re}\approx46.7$ 。在 $\mathrm{Wi}=3.2$ 时 $\mathrm{Re}\approx0.069$ ，论文报告 0.06。差别来自剪切变稀：黏度是在每秒 4 的剪切率下测的。

结论：转变时惯性力约为黏性力的百分之几，流动的混乱只能来自弹性。

来源：A. Groisman and V. Steinberg

到实验里试一试

看振荡流怎样混合四个象限

打开实验后的默认状态是 Weissenberg 数 10 的振荡流。重新释放示踪粒子，看四种颜色怎样跨过象限边界，记下混合指数在 1000 个时间单位后的值。
改用“对称的应力细带”预设（Weissenberg 数 4），再释放粒子。混合指数会离开零吗？说明为什么对称的流动不能把一个象限的流体送到另一个象限。
选“应力扩散过强”预设：它在 Weissenberg 数 10、十倍于文献的应力扩散下从静止开始。观察对称破缺推迟了多久、振荡变得多弱，与本章给出的约 590 比较。

回到单个高分子

在平面伸长中把 Weissenberg 数从 0.4 调到 0.6，看伸展怎样从有界变为无界。弹性湍流中的应力正来自流体微团反复经过这样的伸长区域。

练习与解答

Groisman 与 Steinberg 2000 年的旋流装置在 $\mathrm{Wi}=3.5$ 时 Reynolds 数约 0.3。若装置所有尺寸缩小 4 倍，用同一溶液、同一剪切率，Weissenberg 数和 Reynolds 数各变为多少？
展开解答
剪切率不变，弛豫时间不变，所以 Weissenberg 数仍为 3.5。速度按尺寸缩小 4 倍，长度也缩小 4 倍，Reynolds 数缩小 16 倍，约为 0.02。论文报告缩小装置的阻力曲线与原装置相同，速度和 Reynolds 数分别降低 4 倍和 16 倍。
一个速度谱在高波数呈 $k^{-5/3}$ ，另一个呈 $k^{-3.5}$ 。哪一个的速度梯度主要来自小尺度？
展开解答
前者。 $k^2k^{-5/3}=k^{1/3}$ 的积分随最高波数增长，梯度由最小尺度决定；后者 $k^{-1.5}$ 的积分收敛，梯度由最大尺度决定。
为什么不能把弯曲流道中测得的临界 Weissenberg 数 3.2，拿来与四辊模型的阈值 4.86 比较？
展开解答
两者的 Weissenberg 数定义不同：流道用流量和宽度定义剪切率，四辊模型用驻点处的伸长率。几何也不同：四辊单元没有壁面、没有净流量，也没有流道宽度和曲率半径。弹性失稳参数还依赖高分子黏度占比和间隙与半径之比，没有通用的临界值。
在四辊模型里，怎样判断应力扩散是“制造”了对称破缺，还是只是推迟了它？本课程的数据能回答哪一半？
展开解答
需要看扩散系数趋于零时阈值和破缺时间的走向，最好再用不需要人工扩散的格式重算。本课程只覆盖 1e-3 到 1e-2：扩散增大时阈值升高、破缺推迟，说明这一范围内扩散抑制破缺；零扩散的极限没有检验，所以不能回答扩散是否在更小的值上改变结论。

来源与复算范围

A. Groisman and V. Steinberg, Elastic turbulence in a polymer solution flow, Nature 405, 53–55 (2000); arXiv:nlin/0104052v1
arXiv v1，已通读。图 1：转动上板半径 38 mm，杯半径 43.6 mm，液深 10 mm，12 °C 的旋流装置。方法：溶剂为 65% 蔗糖加 1% 氯化钠，黏度 0.324 Pa s；加入分子量 1.8e7 的聚丙烯酰胺 80 ppm；溶液在每秒 1 的剪切率下黏度 0.424 Pa s；弛豫时间 3.4 s。图 2：剪切率约每秒 1 处发生转变（Weissenberg 数 3.5，Reynolds 数约 0.3），有滞回；阻力最多约为层流的 12 倍（液深 10 mm）和 19 倍（20 mm）。图 3：Weissenberg 数为 13 时的快照。图 4：亮度谱。图 5：速度谱，剪切率每秒 4 时在约一个数量级内呈指数 −3.5 的幂律。正文：Reynolds 应力不到阻力的 0.5%。
A. Groisman and V. Steinberg, Efficient mixing at low Reynolds numbers using polymer additives, Nature 410, 905–908 (2001); arXiv:nlin/0104050v1
arXiv v1，已通读。图 1：宽 3 mm 的流道，由 60 个内外半径为 3 mm 和 6 mm 的半圆环连成。溶剂黏度 0.153 Pa s，密度每立方米 1320 kg；聚丙烯酰胺 80 ppm；溶液在每秒 4 的剪切率下黏度 0.198 Pa s；弛豫时间 1.4 s；染料扩散系数约每秒 8.5e-7 平方厘米。Weissenberg 数与 Reynolds 数都由流量和流道宽度定义。Weissenberg 数到 3.2 之前流动保持定常（Reynolds 数 0.06）；混合实验在 6.7 下进行。图 2：速度谱随波数呈指数 −3.3 的幂律。图 4：约 15 个单元、约 120 s 内完成混合，比扩散时间快三个数量级。
A. Groisman and V. Steinberg, Elastic turbulence in curvilinear flows of polymer solutions, New Journal of Physics 6, 29 (2004)
第 2 节：曲线流动中的弹性失稳由参数 K 控制，它由聚合物黏度占比、间隙与半径之比和 Weissenberg 数的平方相乘而成，是 Taylor 数的弹性对应物；论文没有给出 K 的普适临界值。第 4.2 节：Couette–Taylor 流的转变约在 Weissenberg 数 4，两板间流动在间隙半径比 0.26 和 0.52 时分别为 3.2 和 2；在所测最高的 Weissenberg 数下，Couette–Taylor 流的阻力增大 4.2 倍，两板间为 11 倍和 19 倍。第 5 节：弯曲流道中，Weissenberg 数约 2 时可能出现定常涡，3.2 时开始不规则运动（Reynolds 数 0.06）；100 µm 的微流道从估计的 Weissenberg 数 1.3 起阻力增长，约 9 时达到 2.8 倍。第 6 节把三种几何中阻力的增长概括为约 20、4.2 和 2.8 倍，依次对应两板间流动、Couette–Taylor 流和流道。
S. S. Datta et al., Perspectives on viscoelastic flow instabilities and elastic turbulence, arXiv:2108.09841v1 (2021); Physical Review Fluids 7, 080701 (2022)
arXiv v1，2021 年 8 月 22 日；未核对期刊版本。第 II 节式 (1)：Pakdel–McKinley 判据，把流线曲率与法向应力和剪切应力之比结合起来。文中没有给出 Taylor–Couette 或锥板流的临界值。第 III 节：十字槽流动的模拟中，这一判据的局部最大值超过约 4 至 5 时，流动失去对称或变得随时间变化；式 (2) 与表 II 用构象张量写出 Oldroyd-B、FENE-P 等模型，便于检查正定性并采用对数构象格式；一个二维 Taylor–Couette 模拟在 Weissenberg 数约 10 处变为混沌。研讨会总结指出，在高 Weissenberg 数下 Oldroyd-B 几乎从来不是定量准确的。
B. Thomases, M. Shelley and J.-L. Thiffeault, A Stokesian viscoelastic flow: transition to oscillations and mixing, Physica D 240, 1602 (2011)
式 (1)—(2) 与 (6)：同一模型，Weissenberg 数不超过 10 时应力扩散取 1e-3。式 (4)—(5)：聚合物应变能的平衡式。第 3.1 节图 2：对称定常态加小扰动，Weissenberg 数为 4.8 时衰减，4.9 时增长；网格 256 乘 256，分辨率加倍动力学不变。图 6(d)：Weissenberg 数为 10 时速度谱的周期约 330 和 55。第 5 节：约 4.9 到 9 之间，失去对称的流动会重新稳定；约 9 以上一个涡旋中心脱离固定位置，持续振荡并混合流体；12 和 15 时为周期运动，约 20 以上为非周期。附录 B：应力扩散按 FENE-P 标定；文中没有报告它对阈值的影响。
A. Gupta and D. Vincenzi, Effect of polymer-stress diffusion in the numerical simulation of elastic turbulence, arXiv:1809.09648v2 (2019)
2019 年 3 月 7 日 v2；未核对期刊版本。二维 Oldroyd-B 流，由胞状外力驱动，Deborah 数 10，采用 Cholesky 分解与 Kurganov–Tadmor 格式。使用 Thomases 等人的应力扩散（Schmidt 数 1e3）时，流动长时间几乎冻结，随后打破胞状对称（图 2—4）；不加扩散时很快变为混沌，却保持外力的对称（图 5）。第 3 节：在他们的设置中，对称破缺是扩散造成的假象。第 4 节：FENE-P 结果相同；对应变与涡量混在一起的外力，这种影响可能较弱。
Sandbox Physics FR26, four-roll elastic instability: numerical model (docs/frontier/fr26/four-roll-elastic-instability-model.md, with long-run records in docs/frontier/fr26/records/)
模型版本 fr26-four-roll-elastic-instability-v1。模型说明写明：双周期的四辊单元代替了 2001 年实验中的弯曲流道，它有弯曲流线和拉伸驻点，但没有壁面、没有净流量、没有流道宽度和半径，因此不能拿流道的阈值和频谱与它比较。说明中记录了方程、伪谱离散方法和实验页面显示的诊断量。每次运行都与网格、时间步长、应力扩散和扰动种子一起保存。这些是本路线的数值结果，不是实验数据。