L2 · 第 3 章

为什么伸长流能拉开高分子线团，剪切只让它翻滚

Sandbox Physics · 2026-10-29

同样的 Weissenberg 数，剪切只能把线团拉长不到一倍，伸长流却能把它拉到几十倍长。差别在于转动：剪切一边拉伸一边转动，刚被拉长的线团很快转离拉伸方向；伸长流没有转动，只要拉伸率超过弛豫率的一半，线团就会一直被拉下去。单分子 DNA 实验看到了这个转变，也看到了线性弹簧模型解释不了的滞回。

剪切等于伸长加转动

速度梯度可以拆成对称的应变率 $\mathbf D$ 和反对称的转动 $\mathbf W$ 。简单剪切里， $\mathbf D$ 沿 45° 方向以 $\dot\gamma/2$ 的速率拉伸， $\mathbf W$ 又以同样的速率把一切往回转。线团一被拉长就转向流动方向，而流动方向上的拉伸率为零。

看一根随流体运动的物质线：开始时沿 $y$ 方向，长度为 1，剪切应变 $\gamma$ 之后长度为 $\sqrt{1+\gamma^2}$ ，只按线性增长。平面伸长 $u=\dot\varepsilon(x,-y)$ 没有转动，沿 $x$ 的物质线按 $e^{\dot\varepsilon t}$ 指数伸长。高分子只要不弛豫，就会跟着物质线走。

Schroeder 的综述记录了单个 DNA 分子在稳态剪切中的样子：分子反复伸开、翻转、缩回，首尾颠倒地翻滚（图 4）。伸长流里则没有这种翻滚。

\mathbf L=\begin{pmatrix}0&\dot\gamma\\0&0\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}0&\dot\gamma/2\\\dot\gamma/2&0\end{pmatrix}}_{\mathbf D}+\underbrace{\begin{pmatrix}0&\dot\gamma/2\\-\dot\gamma/2&0\end{pmatrix}}_{\mathbf W}

简单剪切的速度梯度；

\mathbf D

的本征方向在 45° 和 135°，本征值为

\pm\dot\gamma/2

。

原创示意图。简单剪切（左）中速度沿间隙方向增大，流动拉伸线团的同时也转动它，线团因此翻滚。平面伸长（右）中流体沿一个方向流入、沿另一个方向流出，停在驻点的线团只被拉伸，不被转动。

来源：C. M. Schroeder

平面伸长中的稳态构象

把平面伸长的 $\mathbf L=\mathrm{diag}(\dot\varepsilon,-\dot\varepsilon,0)$ 代入构象方程，每个对角分量自成一个方程。沿拉伸方向，流动以 $2\dot\varepsilon$ 的速率放大 $A_{xx}$ ，弹簧以 $1/\lambda$ 的速率把它拉回；稳态要求后者胜出，即 $\mathrm{Wi}=\lambda\dot\varepsilon<1/2$ 。

拉伸方向的应力差除以拉伸率是平面伸长黏度 $\eta_P$ 。低 Weissenberg 数时它等于 $4\eta_0$ ，即牛顿液体的值；单轴伸长的牛顿值是 $3\eta_0$ 。随着 $\mathrm{Wi}$ 接近 1/2， $\eta_P$ 发散，而同样参数下的剪切黏度始终是 $\eta_0$ 。

Morozov 与 Spagnolie 在单轴伸长中得到同样的发散点，并指出它有时被误称为“线团—伸展转变”。线性弹簧可以无限伸长，所以发散只说明在这个拉伸率以上弹簧追不上流动，不说明真实分子会怎样。

A_{xx}=\frac{1}{1-2\,\mathrm{Wi}},\qquad A_{yy}=\frac{1}{1+2\,\mathrm{Wi}},\qquad \eta_P=4\eta_s+\frac{4\eta_p}{1-4\,\mathrm{Wi}^2},\qquad \mathrm{Wi}=\lambda\dot\varepsilon

平面伸长中

A_{zz}=1

。单轴伸长的对应结果见 Morozov 与 Spagnolie 的式 (1.128)—(1.131)，那里伸长黏度同样在

\lambda\dot\varepsilon=1/2

处发散。

来源：A. Morozov and S. E. Spagnolie

阈值以上：指数伸长

从静止启动平面伸长， $A_{xx}$ 满足 $\lambda\dot A_{xx}=(2\mathrm{Wi}-1)A_{xx}+1$ 。阈值以下它趋向上一节的稳态值；阈值以上指数增长，增长率为 $(2\mathrm{Wi}-1)/\lambda$ 。

McKinley 的式 (4)—(6) 给出单轴伸长的同一结构：拉伸率超过 $1/(2\lambda)$ 时，Oldroyd-B 的拉伸应力随时间无界增长。拦住它的是链的有限长度，下一章再讲。

A_{xx}(t)=\frac{2\,\mathrm{Wi}\,e^{(2\mathrm{Wi}-1)t/\lambda}-1}{2\,\mathrm{Wi}-1}

初值

A_{xx}(0)=1

。

\mathrm{Wi}<1/2

时指数项衰减，结果趋向

1/(1-2\mathrm{Wi})

。

来源：G. H. McKinley · A. Morozov and S. E. Spagnolie

单分子实验看到了什么

Schroeder 综述的第 III 节整理了荧光标记 DNA 在伸长流中的实验。只看最终达到稳态伸展的分子，线团—伸展转变极为陡峭。同样从线团出发，不同分子会经历不同的构象路径，有的先成哑铃形，有的折成发卡，有的出现扭折；综述称之为“分子个性”。

更长的分子还会出现构象滞回。综述介绍了 Schroeder 等人 2003 年的实验：用 1.3 mm 长的 DNA，同一拉伸率下，原本拉直的分子在 12 个以上的应变单位内保持拉直，原本成团的分子则保持成团。综述把滞回与拖曳联系起来：拉直的链比成团时受到更大的拖曳，λ-DNA 约大 1.6 倍，1.3 mm DNA 约大 5 倍。

哑铃模型里拖曳系数是常数，拉直与否受力相同，所以它没有两个稳定状态，也就没有滞回。Oldroyd-B 的阈值描述的是“平均线团何时开始被无限拉长”，单分子实验描述的是每个分子实际怎样走过这段路。

来源：C. M. Schroeder

完整例题：同一 Weissenberg 数下的两种流动

取 $\beta=0.5$ ， $\mathrm{Wi}=0.4$ ，低于阈值。平面伸长的稳态： $A_{xx}=1/(1-0.8)=5$ ， $A_{yy}=1/1.8=0.556$ ， $A_{zz}=1$ ，伸展比 $\sqrt{6.556/3}=1.48$ 。平面伸长黏度 $\eta_P=4\times0.5+4\times0.5/(1-0.64)=7.56\,\eta_0$ ，接近牛顿值的两倍。

同样的 $\mathrm{Wi}$ 放到剪切里： $A_{xx}=1+2\times0.16=1.32$ ，伸展比 $\sqrt{3.32/3}=1.05$ ，剪切黏度仍是 $\eta_0$ 。伸长流的拉伸已经明显，剪切几乎还没动。

提高到 $\mathrm{Wi}=1$ ，并让线性弹簧跑 $8\lambda$ 。平面伸长中 $A_{xx}=2e^{8}-1=5961$ ， $A_{yy}$ 趋于 $1/3$ ，伸展比约 44.6，而且还在指数增长。剪切中 $A_{xx}=1+2\,(1-9e^{-8})=2.99$ ，伸展比 1.29。这两个数就是实验里“线性弹簧无限伸长”预设跑完时应看到的。

来源：A. Morozov and S. E. Spagnolie

到实验里试一试

把线团拉过阈值

先选“太慢，拉不开”预设（FENE-P，Weissenberg 数 0.3），再选“线团被拉开”预设（Weissenberg 数 0.8）。比较两种流动的伸展比之比怎样变化。
选“线性弹簧无限伸长”预设（Oldroyd-B，Weissenberg 数 1），确认跑完 $8\lambda$ 时伸长一侧的伸展比约 44.6，剪切一侧约 1.29。
保持 Oldroyd-B，把 Weissenberg 数调到 0.45 再调到 0.55。预测哪一个会停在有限的伸展上，并用 $A_{xx}=1/(1-2\mathrm{Wi})$ 估计 0.45 时的稳态值。

练习与解答

Oldroyd-B 液体， $\beta=0.5$ ，平面伸长 $\mathrm{Wi}=0.25$ 。求稳态 $A_{xx}$ 和平面伸长黏度。
展开解答
$A_{xx}=1/(1-0.5)=2$ ； $\eta_P=4\times0.5+4\times0.5/(1-0.25)=4.67\,\eta_0$ ，比牛顿值 $4\eta_0$ 高约 17%。
一根物质线开始时垂直于剪切流，长度为 1。剪切应变到 10 时它多长？同样的 $\dot\varepsilon t=10$ 下，平面伸长中沿拉伸方向的物质线多长？
展开解答
剪切中 $\sqrt{1+10^2}=10.05$ ；平面伸长中 $e^{10}=2.20\times10^{4}$ 。指数与线性相差两千多倍。
用 Morozov 与 Spagnolie 的式 (1.131) 计算 $\beta=0.5$ 、 $\lambda\dot\varepsilon=0.25$ 时的单轴伸长黏度，并用单轴构象分量独立核对。
展开解答
式 (1.131) 给出 $3\,(1-0.125-0.0625)/(0.5\times1.25)=3.9\,\eta_0$ 。单轴伸长中 $A_{zz}=1/(1-2\times0.25)=2$ ， $A_{rr}=1/(1+0.25)=0.8$ ，于是 $3\eta_s+\eta_p(A_{zz}-A_{rr})/\mathrm{Wi}=1.5+0.5\times1.2/0.25=3.9$ ，两者一致。
为什么 1.3 mm DNA 出现明显滞回，而较短的 λ-DNA 不明显？
展开解答
综述给出的拉直与成团拖曳之比，λ-DNA 约 1.6，1.3 mm DNA 约 5。拖曳随伸展增大得越多，拉直的分子越容易被流动维持在拉直状态，成团的分子越难被拉开，两种状态因此可以在同一拉伸率下共存。

来源与复算范围

A. Morozov and S. E. Spagnolie, Introduction to complex fluids, in Complex Fluids in Biological Systems (Springer, 2015), chapter 1
第 3 节：Weissenberg 数定义为弛豫时间乘剪切率；式 (1.27) 为广义牛顿液体。第 4.1 节：式 (1.47)—(1.51)，弹簧、阻尼器、Maxwell 液体及其记忆积分，弛豫时间等于黏度除以模量。式 (1.72)：上随体导数；式 (1.80)：Oldroyd-B；式 (1.86)—(1.87)：FENE-P。第 4.4 节：Hooke 哑铃，式 (1.98)—(1.110)。式 (1.116)：Oldroyd-B 稳态剪切的法向应力。式 (1.117)—(1.125)：环向应力与锥板法向力。式 (1.128)—(1.131)：单轴伸长，以及 Oldroyd-B 在伸长率达到弛豫时间倒数一半时的发散。书中没有启动过程的解，也没有平面伸长；这两部分由课程自行推导。
C. M. Schroeder, Single polymer dynamics for molecular rheology, arXiv:1712.03555v1; Journal of Rheology 62, 371–403 (2018)
2017 年 12 月 10 日 v1。第 III 节：单个 DNA 分子在稳态剪切中首尾翻滚（图 4）。在伸长流中，只看达到稳态伸展的分子，线团—伸展转变极为陡峭；同样的起点，分子会走不同的路径（“分子个性”）。所引实验为 Perkins、Smith 与 Chu，Science 276, 2016 (1997)，以及 Smith 与 Chu，Science 281, 1335 (1998)。构象滞回：Schroeder 等，Science 301, 1515 (2003)，1.3 mm 长的 DNA 在 12 个以上的应变单位内保持拉直或保持成团；拉直与成团时的拖曳之比，λ-DNA 约 1.6，1.3 mm DNA 约 5。这三篇 Science 论文经由此综述引用，课程没有直接阅读。
G. H. McKinley, Visco-elasto-capillary thinning and break-up of complex fluids, MIT Hatsopoulos Microfluids Laboratory report 05-P-04, submitted to Annual Rheology Reviews (2005)
式 (1)—(2)：变细液丝的应变率与 Hencky 应变。式 (4)—(7)：单轴伸长中 Oldroyd-B 的应力增长，以及有限伸长带来的上限。式 (8)：弹性—毛细变细，半径按指数下降，时间常数为三倍弛豫时间，液丝的 Weissenberg 数为 2/3。式 (11)：伸长黏度不变后线性变细。式 (15)：颈部的零维力平衡。式 (16)：牛顿液体的相似解，系数 0.0709；其后的正文指出简单零维模型的估计偏差超过 100%。第 5.4 节：有限伸长哑铃的终极伸长黏度。式 (8) 的前置系数与表 2 所列相差一个因子，即 2 的立方根，第 5.4 节把差别归于一维相似解；课程只用指数，不用前置系数。