L3 · 第 5 章

从高分子液丝半径的指数下降读出弛豫时间

Sandbox Physics · 2026-10-29

在两块小板之间拉开一滴液体，表面张力会把中间的液桥越挤越细。牛顿液体的细颈以近乎恒定的速度变细，很快断开；稀高分子溶液却会拉出一根细丝，半径按指数缓慢下降，可以维持好几个弛豫时间。指数的速率只取决于弛豫时间，这让液丝变细成了测量伸长流变性质最直接的办法之一。

表面张力挤压液桥

液丝最细处近似为半径 $R(t)$ 的圆柱。表面张力在其中产生压力 $\sigma/R$ ，把液体从颈部挤向两端。颈部的轴向应变率由半径变化率给出，累积的 Hencky 应变由半径之比给出：半径缩小一半，应变增加 $2\ln2$ 。

液丝变细实验没有外力去控制拉伸率：拉伸率是表面张力与液体内部应力相互平衡的结果。同一台仪器，对不同液体会自动走过不同的拉伸历史。

\dot\varepsilon(t)=-\frac{2}{R}\frac{dR}{dt},\qquad \varepsilon(t)=2\ln\frac{R_0}{R(t)}

McKinley 的式 (1) 与式 (2)。

来源：G. H. McKinley

颈部的零维力平衡

把颈部当作一段均匀伸长的圆柱，忽略惯性和重力。左边是溶剂的黏性伸长应力，单轴伸长的牛顿伸长黏度是 $3\eta_s$ ；右边是毛细压力减去高分子沿轴向的拉应力。高分子应力越大，留给溶剂去变形的驱动力越小，液丝变细就越慢。

高分子的轴向应力差 $\tau_{zz}-\tau_{rr}$ 由构象方程在单轴伸长下计算，伸长率就是这一刻的 $\dot\varepsilon$ 。两个方程合起来，半径和构象一起随时间演化。

3\eta_s\left(-\frac{2}{R}\frac{dR}{dt}\right)=\frac{\sigma}{R}-\left(\tau_{zz}-\tau_{rr}\right)

McKinley 的式 (15)。式中的高分子应力可以取自 Oldroyd-B 或 FENE-P。

来源：G. H. McKinley

牛顿液丝：零维模型差了一倍多

没有高分子时，零维平衡给出 $dR/dt=-\sigma/(6\eta_s)$ ：半径匀速下降。真实的牛顿细颈并不是均匀圆柱，它会形成一个自相似的形状。McKinley 在式 (16) 中引用 Papageorgiou 的相似解，变细速度系数是 0.0709，而零维模型给的是 $1/6$ 。

两者之比 $1/(6\times0.0709)=2.35$ ，零维模型把变细速度高估了一倍多。McKinley 在式 (16) 之后指出了这一点。所以零维模型用来理解趋势和高分子主导的阶段，不能用来从牛顿液丝的断裂时间反推黏度。

R(t)=0.0709\,\frac{\sigma}{\eta_s}\left(t_c-t\right),\qquad t_c\approx14.1\,\frac{\eta_sR_0}{\sigma}

McKinley 的式 (16) 与式 (10)。断裂时间等于初始半径除以相似解的变细速度。

课程绘制的示意曲线，不是数据；半径轴取对数。青色：McKinley 式 (8) 的弹性—毛细阶段，在自然对数下是一条斜率为

-1/(3\lambda)

的直线，前置系数略去。琥珀色：以恒定速率变细的液丝，接近断裂时向下弯折。琥珀色曲线的时间尺度仅为展示而取。

来源：G. H. McKinley

弹性—毛细阶段：指数变细

稀高分子溶液里，溶剂黏度很小，过了起始的一小段时间，毛细压力主要由高分子拉应力平衡： $\sigma/R\approx G A_{zz}$ 。半径越小，毛细压力越大，高分子就必须被拉得更长；而 $A_{zz}$ 要增长，伸长率必须超过线团伸展阈值。

自洽地解：取对数后， $\ln A_{zz}$ 的增长率等于 $-\ln R$ 的增长率，即 $\dot\varepsilon/2$ ；构象方程又要求它等于 $2\dot\varepsilon-1/\lambda$ 。两式相等，得 $\dot\varepsilon=2/(3\lambda)$ 。液丝把自己的伸长率稳定在 Weissenberg 数 2/3，高于第三章的阈值 1/2。

半径因此按 $e^{-t/(3\lambda)}$ 下降。在对数坐标上这是一条直线，斜率只含弛豫时间，与表面张力、模量都无关。McKinley 式 (8) 的前置系数含有 $(GR_0/\sigma)^{1/3}$ ；它与表 2 所列的值相差一个 2 的立方根的因子，第 5.4 节把差别归于一维相似解。课程只用斜率。

\frac{R(t)}{R_0}\propto\exp\!\left(-\frac{t}{3\lambda}\right),\qquad \dot\varepsilon=\frac{2}{3\lambda},\qquad \mathrm{Wi}=\lambda\dot\varepsilon=\frac23

McKinley 的式 (8)，前置系数从略。

来源：G. H. McKinley · A. Morozov and S. E. Spagnolie

链拉到全长以后

指数阶段里 $A_{zz}$ 一直在长。用 FENE-P 时它终会接近 $L^2$ ，高分子应力不再随拉伸增大，伸长黏度停在第四章的上限 $3\eta_s+2\eta_pL^2$ 。

这时力平衡变成一个常伸长黏度的液丝，半径重新随时间线性下降，在有限时间内断开。Oldroyd-B 的线性弹簧没有这个上限，零维模型中的液丝会永远按指数变细下去。所以真实液丝的断裂时间带有链长的信息，而指数段的斜率只带有弛豫时间的信息。

\frac{dR}{dt}=-\frac{\sigma}{2\eta_E},\qquad \eta_E=3\eta_s+2\eta_pL^2

McKinley 的式 (11) 与第 5.4 节。用常数伸长黏度代入零维平衡即可得到。

来源：G. H. McKinley

完整例题：从一段半径记录求弛豫时间

设想一次测量：颈部半径在指数段从 $200\,\mu\mathrm m$ 降到 $50\,\mu\mathrm m$ ，用时 $0.83\,\mathrm s$ 。斜率给出 $\lambda=0.83/(3\ln4)=0.200\,\mathrm s$ 。这一段的伸长率是 $2/(3\lambda)=3.34\,\mathrm{s^{-1}}$ ，累积 Hencky 应变 $2\ln4=2.77$ 。

作为对照，取一种黏度 $1.0\,\mathrm{Pa\,s}$ 、表面张力 $0.030\,\mathrm{N/m}$ 的牛顿油，初始半径 $0.3\,\mathrm{mm}$ 。相似解的变细速度 $0.0709\times0.030/1.0=2.13\,\mathrm{mm/s}$ ，断裂时间 $14.1\times1.0\times3\times10^{-4}/0.030=0.141\,\mathrm s$ 。零维模型给出 $5\,\mathrm{mm/s}$ 和 $0.06\,\mathrm s$ ，断裂早了一半多。

读弛豫时间时要选对时间窗：起始阶段溶剂黏度还在起作用，末段链已接近全长，只有中间那段直线才对应 2/3 的 Weissenberg 数。

来源：G. H. McKinley

到实验里试一试

从直线段读出弛豫时间

选“高分子撑住细丝”预设。在对数半径曲线上找出直线段，估计斜率 $s$ ，用 $\lambda=-1/(3s)$ 算出弛豫时间，与“从斜率读出的弛豫时间”比较。
切换到“只有溶剂”，看断裂提前了多少；再选“永不断裂的细丝”预设，说明为什么 Oldroyd-B 的液丝在这个模型里不会断。
选“短链提前断裂”预设，找出直线段结束、半径改为线性下降的时刻，用伸长黏度上限解释为什么链越短，断得越早。

对照一根牛顿液丝

选“黏度拖慢颈缩”预设，记下几个时刻的最细处半径。
把这些半径取对数后对时间作图。它们像高分子液丝那样落在一条直线上吗？用本章的零维平衡说明差别从哪里来。

练习与解答

高分子液丝的对数半径在指数段内每 0.6 s 下降 1。弛豫时间是多少？伸长率呢？
展开解答
斜率为 $-1/(3\lambda)=-1/0.6\,\mathrm{s^{-1}}$ ，所以 $\lambda=0.2\,\mathrm s$ ；伸长率 $2/(3\lambda)=3.33\,\mathrm{s^{-1}}$ 。
一种溶液 $\eta_s=0.01\,\mathrm{Pa\,s}$ 、 $2\eta_pL^2=100\,\mathrm{Pa\,s}$ ，表面张力 $0.05\,\mathrm{N/m}$ 。链拉到全长后，半径每秒下降多少？
展开解答
$\eta_E=0.03+100=100.03\,\mathrm{Pa\,s}$ ， $dR/dt=-0.05/(2\times100.03)=-2.50\times10^{-4}\,\mathrm{m/s}$ ，即每秒约 0.25 mm。
为什么弹性—毛细阶段的 Weissenberg 数必须大于 1/2？
展开解答
毛细压力随半径减小而增大，要靠高分子拉应力平衡，拉应力就必须一直增长。第三章表明，只有伸长率高于阈值时构象才会持续增长；低于阈值，应力会停在一个有限值，无法跟上越来越大的毛细压力。
零维模型和相似解给出的牛顿液丝断裂时间相差几倍？哪一个更早？
展开解答
零维模型的变细速度是 $\sigma/(6\eta_s)$ ，相似解是 $0.0709\,\sigma/\eta_s$ ，前者快 $2.35$ 倍，所以零维模型断得早，断裂时间只有相似解的 $1/2.35\approx0.43$ 。

来源与复算范围

A. Morozov and S. E. Spagnolie, Introduction to complex fluids, in Complex Fluids in Biological Systems (Springer, 2015), chapter 1
第 3 节：Weissenberg 数定义为弛豫时间乘剪切率；式 (1.27) 为广义牛顿液体。第 4.1 节：式 (1.47)—(1.51)，弹簧、阻尼器、Maxwell 液体及其记忆积分，弛豫时间等于黏度除以模量。式 (1.72)：上随体导数；式 (1.80)：Oldroyd-B；式 (1.86)—(1.87)：FENE-P。第 4.4 节：Hooke 哑铃，式 (1.98)—(1.110)。式 (1.116)：Oldroyd-B 稳态剪切的法向应力。式 (1.117)—(1.125)：环向应力与锥板法向力。式 (1.128)—(1.131)：单轴伸长，以及 Oldroyd-B 在伸长率达到弛豫时间倒数一半时的发散。书中没有启动过程的解，也没有平面伸长；这两部分由课程自行推导。
G. H. McKinley, Visco-elasto-capillary thinning and break-up of complex fluids, MIT Hatsopoulos Microfluids Laboratory report 05-P-04, submitted to Annual Rheology Reviews (2005)
式 (1)—(2)：变细液丝的应变率与 Hencky 应变。式 (4)—(7)：单轴伸长中 Oldroyd-B 的应力增长，以及有限伸长带来的上限。式 (8)：弹性—毛细变细，半径按指数下降，时间常数为三倍弛豫时间，液丝的 Weissenberg 数为 2/3。式 (11)：伸长黏度不变后线性变细。式 (15)：颈部的零维力平衡。式 (16)：牛顿液体的相似解，系数 0.0709；其后的正文指出简单零维模型的估计偏差超过 100%。第 5.4 节：有限伸长哑铃的终极伸长黏度。式 (8) 的前置系数与表 2 所列相差一个因子，即 2 的立方根，第 5.4 节把差别归于一维相似解；课程只用指数，不用前置系数。