FR18 · 毛细失稳

液丝颈缩

表面张力为什么会把液丝拉出鼓包，让中间越变越细？ 足够长的鼓包能减少液柱表面积。细颈处毛细压强更高，液体流向两侧鼓包，细颈就更细。短波的轴向弯曲太强，起伏会平息；黏度增大则让流动变慢。

看液体怎样从细颈流向两侧鼓包。比较长短不同的扰动，再增大黏度，让颈缩慢下来。

毛细时间 $2.08\,t_c$

最细处半径 $0.788\,R_0$

线性增长指数 $0.225/t_c$

保留体积 $100\,\%$

模型假设

采用一维轴对称 Eggers–Dupont 模型，在周期单元内同时求半径和轴向速度；密度、黏度、表面张力固定。不含重力、外侧流体应力、热噪声和分子作用。长度以初始平均截面积对应的半径为单位，时间以惯性毛细时间为单位。细颈接近网格分辨率、或长波几何变得过陡时停止，不跨越断裂。琥珀色标记跟随计算所得的轴向流，大小为示意。记录均来自模拟。

最细处半径随时间变化

r_{\min}/R_0

从半径记录提取的余弦振幅与线性参考解

\lvert a_1\rvert/R_0

单位与停止位置

初始平均截面积确定半径单位；密度、半径和表面张力确定毛细时间。细颈半径达到一点五个网格间距或初始半径的百分之十六（取较大者），或轴向坡度超过一点二时，计算停止。

t_c=\sqrt{\rho R_0^3/\gamma},\qquad \mathrm{Oh}=\mu/\sqrt{\rho\gamma R_0}

先抓重点

核心问题: 表面张力为什么会把液丝拉出鼓包，让中间越变越细？
一句话直觉: 长波起伏把液体从细颈搬到鼓包，表面能随之下降。

核心数学模型

沿液丝流动的体积

\partial_t(r^2)+\partial_z(r^2u)=0

坐标沿液丝轴线，半径用初始平均截面积对应的半径作单位，速度用该半径除以毛细时间作单位。截面积乘轴向速度给出体积流率；方程两边的圆周率约掉了。

两种弯曲共同决定压强

\kappa=\frac{1}{r\sqrt{1+r_z^2}}-\frac{r_{zz}}{(1+r_z^2)^{3/2}}

第一项来自绕轴线的弯曲，第二项来自侧面轮廓。细颈让第一项增大，短波的轴向曲率却能抵消它。无量纲毛细压强就等于这里的曲率。

小起伏的增长判据

s^2+3\mathrm{Oh}\,k^2s=\tfrac12 k^2(1-k^2),\qquad k=\frac{2\pi R_0}{\lambda}

无量纲波数小于一时，小起伏存在指数增长的分支。黏性项降低增长速度。这是当前一维模型的色散关系。

常见难点

表面张力与光滑

容易误解表面张力总会把看得见的鼓包抹平。

正确理解表面张力要在体积固定时减少表面积。长液柱长出鼓包后，表面积反而可以更小。判断方向时，要比较整个液面的面积。

动手实验

01
先猜长波和短波各会怎样
先看“细颈越变越细”，再选“短波逐渐平息”。
你会看到： 长波细颈不断失去液体。短波则逐渐变平，轴向曲率改变了压强差的方向。
02
让同一个扰动慢下来
选“黏度拖慢颈缩”，比较最细处半径随时间的变化。
你会看到： 失稳的波长门槛没有改变，细颈变细却需要更长时间。
03
找出线性预测开始偏离的地方
选“小起伏慢慢长大”。上下拖动细颈，改变起初的起伏。
你会看到： 模拟中余弦分量的振幅起初跟随琥珀色线性解。形状长出更多谐波后，两条曲线逐渐分开。

液丝颈缩

细颈与不断长大的起伏

表面张力怎样让细颈越来越细

核心数学模型

沿液丝流动的体积

两种弯曲共同决定压强

小起伏的增长判据

常见难点

表面张力与光滑

动手实验

先猜长波和短波各会怎样

让同一个扰动慢下来

找出线性预测开始偏离的地方

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