L2 · 第 2 章

从哑铃模型到构象张量与 Oldroyd-B 方程

Sandbox Physics · 2026-10-29

上一章的 Maxwell 方程只有一个标量应力，说不出高分子在哪个方向上被拉长。把一条高分子链简化成弹簧连着的两颗珠子，对热运动取平均，得到的是一个张量：它记录线团在各个方向上被拉长了多少。这个构象张量的方程，加上溶剂的黏性应力，就是 Oldroyd-B 模型。剪切中它比 Maxwell 多给出一样东西：沿流动方向的法向应力。

弹簧连着的两颗珠子

把一条高分子链换成两颗珠子：每颗受溶剂的拖曳，系数为 $\zeta$ ；两颗之间是劲度为 $K$ 的弹簧；再加上热运动的随机力。端到端矢量 $\mathbf R$ 随时间乱跳，但它的二阶矩 $\langle\mathbf R\mathbf R\rangle$ 服从一个确定的方程。

平衡时，弹簧储存的平均能量由热能决定， $K\langle\mathbf R\mathbf R\rangle=k_BT\,\mathbf I$ 。于是用 $k_BT/K$ 去量 $\langle\mathbf R\mathbf R\rangle$ ，得到构象张量 $\mathbf A$ ，静止时它就是单位张量。 $\mathbf A$ 的迹除以 3 再开方，是线团的平均尺寸相对平衡时的倍数，下文称为伸展比。

高分子对应力的贡献来自弹簧力：单位体积有 $n$ 根弹簧，应力就是 $n$ 乘弹簧张力与端到端矢量的平均乘积，再减去平衡时的那一份。结果正比于 $\mathbf A-\mathbf I$ ，比例系数 $G=nk_BT$ 就是上一章的模量。

\mathbf A=\frac{K\langle\mathbf R\mathbf R\rangle}{k_BT},\qquad \boldsymbol\tau_p=G\left(\mathbf A-\mathbf I\right),\qquad G=nk_BT=\frac{\eta_p}{\lambda},\qquad \lambda=\frac{\zeta}{4K}

Morozov 与 Spagnolie 的式 (1.98)、(1.104)、(1.109) 与 (1.110)。弛豫时间由珠子的拖曳系数和弹簧劲度决定。

来源：A. Morozov and S. E. Spagnolie

构象张量怎样随流动变化

流动拉伸和转动高分子的方式，与拉伸和转动一根随流体运动的物质线段相同。若高分子完全不弛豫，构象张量就会跟着这些线段一起变形；数学上，这相当于上随体导数为零。弹簧和热运动再把它拉回 $\mathbf I$ ，速率为 $1/\lambda$ 。

上随体导数里， $\mathbf L\mathbf A+\mathbf A\mathbf L^{\mathsf T}$ 两项就是速度梯度对构象的拉伸和转动。高分子应力加上溶剂的黏性应力 $2\eta_s\mathbf D$ ，就是 Oldroyd-B 模型。它的参数只有三个：溶剂黏度、高分子黏度和弛豫时间。

构象张量是一个平均的“线团形状”，必须保持正定：它的三个本征值是线团在三个主方向上的尺寸平方，不能为负。数值计算若算出负的本征值，结果就失去意义。Datta 等人的综述用构象张量写出各种模型，部分原因正是便于检查和保持这一点。

\overset{\nabla}{\mathbf A}\equiv\frac{D\mathbf A}{Dt}-\mathbf L\mathbf A-\mathbf A\mathbf L^{\mathsf T}=-\frac{1}{\lambda}\left(\mathbf A-\mathbf I\right),\qquad L_{ij}=\frac{\partial u_i}{\partial x_j}

Morozov 与 Spagnolie 的式 (1.72) 定义上随体导数，式 (1.103) 与 (1.110) 给出哑铃的结果；式 (1.80) 是加上溶剂应力的 Oldroyd-B 模型。这里把速度梯度写成

\mathbf L

，它是书中梯度张量的转置。

来源：A. Morozov and S. E. Spagnolie · S. S. Datta et al.

启动剪切：剪切应力与法向应力

简单剪切 $u_x=\dot\gamma y$ 中， $\mathbf L$ 只有一个分量 $L_{xy}=\dot\gamma$ 。代入后各分量的方程互相分开： $A_{yy}$ 没有拉伸项，一直等于 1； $A_{xy}$ 由 $\dot\gamma A_{yy}$ 驱动，按指数趋向 $\mathrm{Wi}$ ； $A_{xx}$ 又由 $2\dot\gamma A_{xy}$ 驱动。

依次解出，剪切应力与上一章完全一样，启动黏度 $\eta^+$ 从 $\eta_s$ 长到 $\eta_0$ ，并且稳态黏度与剪切率无关。新东西是第一法向应力差 $N_1$ ：沿流动方向的拉应力比垂直方向的大，稳态值正比于剪切率的平方。它比剪切应力长得慢，起点处的斜率为零，因为 $A_{xx}$ 要等 $A_{xy}$ 先长起来。

稳态时 $N_1$ 与高分子剪切应力之比是 $2\mathrm{Wi}$ 。Weissenberg 数越大，法向应力相对剪切应力越重要。Oldroyd-B 的第二法向应力差为零。

\eta^{+}(t)=\eta_s+\eta_p\left(1-e^{-t/\lambda}\right),\qquad N_1^{+}(t)=2\eta_p\lambda\dot\gamma^2\left[1-\left(1+\frac{t}{\lambda}\right)e^{-t/\lambda}\right]

由上式逐个分量积分得到；

t\to\infty

时与 Morozov 与 Spagnolie 的式 (1.116) 一致。

溶剂份额

\beta=0.5

的 Oldroyd-B 启动剪切，时间以弛豫时间为单位。青色：剪切黏度与零剪切黏度之比，从溶剂份额起步。琥珀色：第一法向应力差与其稳态值之比，起步斜率为零。课程计算的解析曲线。

来源：A. Morozov and S. E. Spagnolie

给定应力时的蠕变

改为给定总剪切应力 $\tau_0$ 。刚开始高分子应力为零，全部应力由溶剂承担，剪切率是 $\tau_0/\eta_s$ 。高分子应力长起来以后分走一部分，剪切率降到 $\tau_0/\eta_0$ 。

把溶剂应力写成 $\tau_0$ 减去高分子应力，代入高分子剪切应力的方程，得到一个时间常数为 $\beta\lambda$ 的指数过程。溶剂份额越小，起步越快，过渡也越短。用 $\mathrm{Wi}_N=\lambda\tau_0/\eta_0$ 表示最终的 Weissenberg 数。

\lambda\dot\gamma(t)=\mathrm{Wi}_N\left[1+\frac{\eta_p}{\eta_s}\,e^{-t/(\beta\lambda)}\right],\qquad \mathrm{Wi}_N=\frac{\lambda\tau_0}{\eta_0}

把 Oldroyd-B 的剪切分量与恒定总应力条件联立求解得到。起始时刻括号等于溶剂份额的倒数。

来源：A. Morozov and S. E. Spagnolie

完整例题：Weissenberg 数为 2 的启动剪切

取 $\eta_0=1\,\mathrm{Pa\,s}$ 、 $\beta=0.5$ 、 $\lambda=1\,\mathrm{s}$ ，于是 $\eta_s=\eta_p=0.5\,\mathrm{Pa\,s}$ ， $G=0.5\,\mathrm{Pa}$ 。以 $\dot\gamma=2\,\mathrm{s^{-1}}$ 启动， $\mathrm{Wi}=2$ 。

到 $t=\lambda$ 时， $\eta^+=0.5+0.5\,(1-e^{-1})=0.816\,\mathrm{Pa\,s}$ ，已经走完剪切应力增长的 63%。法向应力的稳态值是 $2\times0.5\times1\times4=4\,\mathrm{Pa}$ ； $t=\lambda$ 时只有 $4\,(1-2e^{-1})=1.06\,\mathrm{Pa}$ ，即 26%； $t=3\lambda$ 时为 $4\,(1-4e^{-3})=3.20\,\mathrm{Pa}$ 。

稳态构象： $A_{xx}=1+2\mathrm{Wi}^2=9$ ， $A_{xy}=\mathrm{Wi}=2$ ， $A_{yy}=A_{zz}=1$ 。迹为 11，伸展比 $\sqrt{11/3}=1.91$ 。线团沿流动方向被拉长、向剪切平面倾斜，但尺寸不到平衡时的两倍。

改为给定应力，让最终的 $\mathrm{Wi}_N=2$ ：一开始 $\lambda\dot\gamma=2/\beta=4$ ； $t=1\,\mathrm{s}$ ，即两个 $\beta\lambda$ 之后，降到 $2\,(1+e^{-2})=2.27$ 。

来源：A. Morozov and S. E. Spagnolie

到实验里试一试

在剪切中看构象张量增长

把弹簧律切换为“Oldroyd-B（线性弹簧）”，保持“给定速率”，溶剂黏度占比设为 0.5，Weissenberg 数设为 2。
只看剪切一侧：线团伸展比应趋向 $\sqrt{11/3}=1.91$ 。在详细读数里找剪切中法向应力差与剪切应力之比，它对应高分子部分的 $2\mathrm{Wi}$ ，即 4。
切换到“给定应力”，保持同样的设定，看剪切一侧的 Weissenberg 数怎样从约 $2/\beta$ 降到 2；把溶剂黏度占比调到 0.2，预测过渡会更快还是更慢。

练习与解答

启动简单剪切时，为什么 $A_{yy}$ 始终等于 1？
展开解答
简单剪切的速度梯度只有 $L_{xy}$ 。代入上随体导数， $A_{yy}$ 的方程里拉伸项都含 $L_{yx}$ 或 $L_{yy}$ ，两者都为零，只剩向 1 的弛豫；初值为 1，所以一直是 1。
启动剪切到 $t=2\lambda$ 时，第一法向应力差达到稳态值的几成？剪切应力的高分子部分呢？
展开解答
法向应力差为 $1-3e^{-2}=0.594$ ，约六成；高分子剪切应力为 $1-e^{-2}=0.865$ 。法向应力起步慢，要多等一些时间。
给定应力时，若溶剂份额 $\beta=0.1$ ，起始剪切率是最终值的几倍？过渡的时间常数是多少？
展开解答
起始剪切率是最终值的 $1/\beta=10$ 倍；时间常数为 $\beta\lambda=0.1\lambda$ 。溶剂越稀，起步越猛，过渡越快。
把剪切方向反过来，剪切应力和第一法向应力差的符号各怎样变？
展开解答
剪切应力正比于 $\dot\gamma$ ，随之变号； $N_1$ 正比于 $\dot\gamma^2$ ，符号不变。所以无论往哪个方向转，法向应力都沿流线方向拉紧液体。

来源与复算范围

A. Morozov and S. E. Spagnolie, Introduction to complex fluids, in Complex Fluids in Biological Systems (Springer, 2015), chapter 1
第 3 节：Weissenberg 数定义为弛豫时间乘剪切率；式 (1.27) 为广义牛顿液体。第 4.1 节：式 (1.47)—(1.51)，弹簧、阻尼器、Maxwell 液体及其记忆积分，弛豫时间等于黏度除以模量。式 (1.72)：上随体导数；式 (1.80)：Oldroyd-B；式 (1.86)—(1.87)：FENE-P。第 4.4 节：Hooke 哑铃，式 (1.98)—(1.110)。式 (1.116)：Oldroyd-B 稳态剪切的法向应力。式 (1.117)—(1.125)：环向应力与锥板法向力。式 (1.128)—(1.131)：单轴伸长，以及 Oldroyd-B 在伸长率达到弛豫时间倒数一半时的发散。书中没有启动过程的解，也没有平面伸长；这两部分由课程自行推导。
S. S. Datta et al., Perspectives on viscoelastic flow instabilities and elastic turbulence, arXiv:2108.09841v1 (2021); Physical Review Fluids 7, 080701 (2022)
arXiv v1，2021 年 8 月 22 日；未核对期刊版本。第 II 节式 (1)：Pakdel–McKinley 判据，把流线曲率与法向应力和剪切应力之比结合起来。文中没有给出 Taylor–Couette 或锥板流的临界值。第 III 节：十字槽流动的模拟中，这一判据的局部最大值超过约 4 至 5 时，流动失去对称或变得随时间变化；式 (2) 与表 II 用构象张量写出 Oldroyd-B、FENE-P 等模型，便于检查正定性并采用对数构象格式；一个二维 Taylor–Couette 模拟在 Weissenberg 数约 10 处变为混沌。研讨会总结指出，在高 Weissenberg 数下 Oldroyd-B 几乎从来不是定量准确的。