FR26 · 弹性失稳

弹性失稳：四辊磨中的对称破缺

一个完全没有惯性的缓慢高分子流动，怎么会失去对称、开始振荡？ 靠的只是弹性应力。中心驻点把高分子拉成一条又细又强的应力带，这股应力反过来推动流动。Weissenberg 数超过约 5 后，应力带的微小偏斜不再消失而是增长，四个涡失去对称；到 10 左右，流动持续振荡，把各涡之间的流体混在一起，全程没有惯性。

四个辊子在没有惯性的条件下搅动高分子溶液。Weissenberg 数越过临界值后，中心被拉伸的高分子打破对称，流动开始振荡。

应力的不对称量 $49.4$

探针处的流速 $-0.0282$

示踪粒子的混合指数 $0.646$

拉伸的最小特征值 $0.326$

调高高分子的记忆

高分子弛豫时间与流动时间之比

10

\mathrm{Wi}=\lambda/\tau_f

人工应力扩散

\nu_p=0.001

拉伸的最小特征值低于零，说明这套网格分辨不了应力带。更细的网格在“网格与时间步长”里。

拖动十字准星移动速度探针。Weissenberg 数超过约 4.9 后，中心明亮的应力带会倾倒，流动开始振荡。

网格与时间步长

每边网格点数时间步长减半

改动任一项都会把当前应力重新采样到新网格上，接着往下算。128 乘 128 网格每步的计算量约为五倍，运行更慢。

模型、单位与来源

$-\Delta\mathbf u+\nabla p=\beta\,\nabla\cdot\mathbf S+\mathbf f,\quad \overset{\nabla}{\mathbf S}=-\frac{\mathbf S-\mathbf I}{\mathrm{Wi}}+\nu_p\Delta\mathbf S,\quad \beta\,\mathrm{Wi}=\tfrac12$

盒子是周期的，以模型长度单位计为 $[-\pi,\pi]^2$ 。时间以流动时间为单位，即纯溶剂流在中心的应变率的倒数。求解器是 Fourier 伪谱法，配 Hou–Li 滤波和积分因子三阶 Runge–Kutta 时间步。染料是 4096 个被动粒子，随计算出的速度移动，不影响流动。

课程章节：驻点怎样失去对称

Thomases & Shelley (2007) · Thomases & Shelley (2009) · Thomases, Shelley & Thiffeault (2011)

模型假设

模型是 Thomases 与 Shelley 的二维周期 Stokes–Oldroyd-B 四辊磨：固定体力驱动四个反向旋转的涡胞，中心是一个伸长驻点；没有惯性，高分子与溶剂的黏度比为二分之一。高分子应力带有很小的人工扩散，与已发表的计算相同；它会抹平细薄的应力片，并改变长时间动力学。Lab 在 64 乘 64 网格上运行，比已发表的 256 乘 256 计算粗。它的对称破缺阈值和 Weissenberg 数为 10 时的演化与我们的 128 乘 128 计算一致，但应力带形成时拉伸的最小特征值会短暂低于零，说明这一阶段分辨率不足。弹性湍流的弯曲流道与旋转圆盘实验没有建模。所有场都是模拟，未展示实测数据。

探针处的流速

离对称有多远

第 I 象限的染料从哪来

更多数值与计算方法

模型时间: $0$
高分子耦合系数: $0$
人工应力扩散: $0$
网格与时间步长: $0$
中心驻点的位置: $0$
最大拉伸（构象张量的迹）: $0$
本次运行以来拉伸的最小特征值: $0$
Stokes 能量恒等式的相对残差: $0$
应力谱在最高三分之一波数中的份额: $0$
对流 Courant 数: $0$
染料释放时刻: $0$
每秒推进的模型时间: $0$

不对称量是应力与它在辊子驱动力各对称操作下的平均之差的均方根；对称态为零。混合指数在染料均匀分布于四个象限时为一，仍留在起始象限时为零。最小特征值为负说明那里的拉伸场不符合物理，即网格对应力带太粗。所有曲线都来自这次模拟，不是实测数据，也不是文献曲线。

物理教程

没有惯性也会失去的对称

背景四个反向旋转的辊子以极慢的速度搅动液体，惯性完全不起作用。普通液体此时严格跟随驱动力：流动与搅动有同样的对称，并且一直不变。加入长链高分子后，同样缓慢的搅动却能让流动偏向一侧，并持续振荡。

为什么值得理解四个辊子中间有一个驻点，流动在那里无限制地拉伸高分子。被拉开的高分子形成一条细薄的应力带，反过来推动流动。这是只靠弹性应力打破对称的最简单场景，也是通往弹性湍流的第一步。

先抓重点

核心问题: 一个完全没有惯性的缓慢高分子流动，怎么会失去对称、开始振荡？
一句话直觉: Weissenberg 数 $\mathrm{Wi}$ 比较的是高分子记住一次拉伸的时间与流动时间；流动时间指纯溶剂流在中心把流体拉长到 e 倍所需的时间。 $\mathrm{Wi}$ 越过约 4.9 以后，对称的应力带不再稳定：应力带稍一倾斜，流动就跟着弯曲，并把它朝同一方向拉得更歪。

核心数学模型

由辊子和高分子共同驱动的慢流

-\Delta\mathbf u+\nabla p=\beta\,\nabla\cdot\mathbf S+\mathbf f,\qquad \nabla\cdot\mathbf u=0

Stokes 流：黏性与固定的辊子驱动力 $\mathbf f$ 以及高分子应力平衡。当 $\mathbf S=\mathbf I$ 时，流动是围绕中心驻点的四个对称涡胞。

高分子怎样被拉伸、怎样松弛

\partial_t\mathbf S+\mathbf u\cdot\nabla\mathbf S-\nabla\mathbf u\,\mathbf S-\mathbf S\,\nabla\mathbf u^{\mathsf T}=-\frac{\mathbf S-\mathbf I}{\mathrm{Wi}}+\nu_p\Delta\mathbf S

Oldroyd-B 构象张量 $\mathbf S$ 被流动携带、拉伸，又向 $\mathbf I$ 松弛。很小的扩散 $\nu_p$ 是数值手段，已发表的计算也这样做，它不是真实高分子的性质。

驻点处的拉伸

\frac{d S_{xx}}{dt}=2\dot\varepsilon\, S_{xx}-\frac{S_{xx}-1}{\mathrm{Wi}},\qquad \dot\varepsilon\,\mathrm{Wi}>\tfrac12\ \Rightarrow\ S_{xx}\ \text{grows exponentially}

$\dot\varepsilon$ 是以流动时间为单位的中心应变率：只有溶剂时为 1，高分子开始抵抗后变小，在 $\mathrm{Wi}$ 很小的极限下为 $2/3$ 。越过 $\dot\varepsilon\,\mathrm{Wi}=1/2$ 后拉伸快过松弛；没有扩散时，中心应力会无界增长，Thomases 与 Shelley（2007）发现这从 $\mathrm{Wi}\approx0.9$ 开始。这里让应力带保持有限的是扩散和它对流动的反馈。

度量失去的对称

A=\left\langle\left\|\mathbf Q-\mathcal P\mathbf Q\right\|_F^2\right\rangle^{1/2},\qquad \mathbf Q=\mathbf S-\mathbf I

$\mathcal P$ 把应力在辊子驱动力的各个对称操作下求平均。对称态的 $A$ 为零；对称应力带一旦失稳， $A$ 就指数增长。

常见难点

失稳一定要靠惯性？

容易误解这么慢的流动不会失稳；失稳和湍流需要很大的 Reynolds 数。

正确理解这里的 Reynolds 数按构造就是零。驱动失稳的非线性在高分子方程里：流动拉伸高分子，被拉伸的高分子又让流动弯曲。

这些数值已经收敛

容易误解这里显示的阈值和周期就是模型的精确答案。

正确理解阈值 4.86 在我们的 64 乘 64 和 128 乘 128 网格之间一致，也与已发表的 4.8 到 4.9 一致。在默认网格上，应力带形成时 $\mathbf S$ 的最小特征值会短暂变负，说明这一阶段分辨率不足。改变 $\nu_p$ 会改变长时间的行为。

动手实验

01
看振荡
从“会搅混的振荡”开始，看探针曲线和彩色染料。
你会看到： 明亮的应力带偏离中心来回摆动，探针速度以一长一短两个周期起伏；第 II、IV 象限的染料不断进入第 I 象限，对角的第 III 象限却很少进来。
02
待在阈值以下
选择“对称的应力细带”，再把 Weissenberg 滑块从 4 拖过 5。
你会看到： 在 4 时应力带保持笔直，不对称量衰减。越过约 4.9 后它转而上升；到 6 时它在对数坐标上沿直线爬升，几百个流动时间后应力带倾倒。
03
把应力抹平
选择“应力扩散过强”，与参照的振荡对比。
你会看到： 扩散加到已发表值的十倍后，对称破缺推迟到约 590 个流动时间，之后只剩微弱的缓慢摆动。