斯托克斯流只认眼前的推力

把惯性项拿掉

Lauga 和 Powers 的综述从不可压缩流体的纳维–斯托克斯方程讲起。方程一边是惯性，即密度乘以一小团流体的加速度；另一边是压强梯度和黏性力。用典型速度衡量速度，用典型尺寸衡量长度，两边之比就是雷诺数。

这个比值只有几万分之一时，惯性那一边可以直接取零。剩下的是每一点上的力平衡：压强推，黏性拦，没有任何东西加速。再加上流体不可压缩的条件，就是斯托克斯方程。

综述还提到一个只由黏度和密度组成的力，在水里约一纳牛。慢速物体受的阻力大致是黏度乘速度再乘尺寸，于是它的雷诺数大致等于拉它的力除以这一纳牛。拉力远小于一纳牛的物体，不管多大，都处在低雷诺数。这门课里出现的力，都比它小一千倍以上。

\rho\left(\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}\right)=-\nabla p+\eta\nabla^{2}\mathbf{u}\;\;\longrightarrow\;\;\mathbf{0}=-\nabla p+\eta\nabla^{2}\mathbf{u},\qquad\nabla\cdot\mathbf{u}=0

斯托克斯方程里没有时间导数。时间只经由边界进来：小球一动，周围流体立刻重新排布，变成与小球此刻速度相配的那唯一一种流动。小球一停，各处流动在同一瞬间全部停下。Purcell 说的“与过去无关”，写成数学就是这样。

方程还是线性的。所有边界速度翻倍，流体各处的速度、压强和受力也一起翻倍；所有边界速度反向，整个流动也反过来。Lauga 和 Powers 称之为运动学可逆性，第三章的扇贝定理就建立在它上面。

测黏度靠的也是线性。在牛顿液体里，剪切一条薄缝所需的应力与剪切速率成正比，比值就是黏度。旋转流变仪从扭矩和转速求出这个比值。斯托克斯方程里出现的流体性质只有黏度一个，建泳者模型之前，要测的就是这个数。

完整例题

斯托克斯定律给出慢速小球受的阻力：六倍圆周率，乘以黏度、半径和速度。取半径一微米，速度每秒三十微米，黏度取水的值，一毫帕秒。

阻力约 0.57 皮牛。克服阻力的功率等于阻力乘速度，约十七阿瓦，也就是十七个十亿分之一的十亿分之一瓦。

Lauga 和 Powers 也把这条定律倒过来写，叫迁移率，即每单位外力换来多大速度。热抖动的大小也由迁移率决定：乘上室温下的热能，小球的扩散系数约为每秒 0.21 平方微米。

\begin{aligned}F&=6\pi\eta aU=6\pi\,(10^{-3}\,\mathrm{Pa\,s})(10^{-6}\,\mathrm{m})(3\times10^{-5}\,\mathrm{m\,s^{-1}})\approx5.65\times10^{-13}\,\mathrm{N}\\P&=FU\approx1.7\times10^{-17}\,\mathrm{W},\qquad D=\frac{k_{\mathrm B}T}{6\pi\eta a}\approx0.21\,\mu\mathrm{m^{2}\,s^{-1}}\end{aligned}

完整例题

离小球远了，它搅起的流动就像一个推着液体的点力。Lauga 和 Powers 把这个解叫作斯托克斯子。它的速度只按距离的倒数衰减，比一团质量的引力衰减得还慢。

这种流动前后和两侧不对称。沿着力的方向，流体速度是同样距离侧面处的两倍。拿我们的小球来算，沿路径前方十微米处，流体以每秒约 4.5 微米移动，相当于小球自身速度的百分之十五；前方 150 微米处，仍有百分之一。

真实小球的流动，是斯托克斯子再加一项随距离三次方衰减的修正，后者让流体贴住小球表面。后面几章的三球模型只保留点力那一部分。小球比手臂短得多时，这样做没问题，误差也能估出来：加上最低阶的有限尺寸修正，默认每周期的步长变化约百分之四。

\mathbf{u}(\mathbf{r})=\frac{1}{8\pi\eta r}\left(\mathbf{I}+\frac{\mathbf{r}\mathbf{r}}{r^{2}}\right)\cdot\mathbf{F},\qquad u_{\parallel}=\frac{F}{4\pi\eta r}=\frac{3a}{2r}\,U

例题里的扩散系数带来一个让人清醒的结论。默认三球泳者划一圈要 0.53 秒，这段时间里，同样大小的单个小球靠热运动沿任一方向会漂出约半微米；泳者确定的一步只有 0.17 微米。

步长随周期数成正比累加，热漂移只随周期数的平方根增长。大约八个周期之后，定向前进就超过了热抖动，游动从此显现出来。这门课的泳者模型算的正是这个确定的平均值；真实的微米级泳者，要对许多周期或许多个体求平均，才能看出它。