Purcell 的扇贝
Purcell 画了一只只有一个铰链的扇贝，它只会张开和合拢。在高雷诺数下，它可以慢慢张开、猛地合上，快的那一下就把身体推出去。真实的扇贝足够大，可以这样做；Lauga 和 Powers 在脚注里指出，真扇贝是在高雷诺数下游的。
到了低雷诺数，这一招就失灵了。Purcell 在图注里说，时间无关紧要，要紧的只有形状的先后顺序。贝壳合得快也好、慢也好，身体走的距离都一样；再张开时，身体又正好退回同样的距离。
只有一种变形方式的泳者，都会碰到这个麻烦。一个铰链能做的周期运动，只有沿同一条路去了再回来。Purcell 把这样的运动叫作往复运动。
快慢从式子里消掉了
用几个数描述泳者的形状，比如铰链角，或者两条手臂的长度。斯托克斯流是线性、即时的。泳者每一刻的速度，是这几个数变化快慢的线性组合，系数只取决于此刻的形状。
把速度对时间积分，得到走过的距离。形状的变化率和时间步长正好相消，剩下的是沿形状空间里那条路径的积分。Lauga 和 Powers 在方程 14 到 17 里走了这一遍。同一条路径走快一倍，积分结果一样。
整个推理只用了两件事：流动方程里没有时间导数，速度对形状变化率是线性的。推理里完全没提泳者的几何形状，所以它一次就管住了所有往复泳者。
回程抵掉去程
往复划法沿一条路径从一个形状走到另一个形状，再沿原路返回。回程积分就是去程积分把上下限对调，两者正好相消。Lauga 和 Powers 把它写成方程 18。整个周期的位移为零，前后两半的快慢分配得再不均匀也一样。
泳者在每半程里其实都在动，定理说的只是后半程会把它带回来。想要往前走，形状就得换一条路回来，让形状空间里的路径圈住一块面积。只有一个自由度时找不到这样的路，泳者至少需要两种互相独立的变形方式。
完整例题
三球泳者的往复划法
下一章的三球泳者有两条手臂，两种划法都做得出来。取默认参数：小球半径一微米，在水里，两条手臂起初都是十微米。
先只把左臂缩到六微米，再伸回去。缩短时，中间的小球向左移动 1.353 微米；伸长时，它又向右移回 1.353 微米。把缩短的动作加快十倍，每半程用的时间变了，两段距离都保持原样。
实验里的往复预设让两条手臂一起从十微米缩到六微米，再一起伸回。算出的每周期位移在运算精度内为零，小于千万分之一纳米。这一圈照样要耗散约 7.08 阿焦的能量：黏性摩擦前后两半都要付，距离却正好抵消。
定理管到哪里，又在哪里失效
Lauga 和 Powers 特别指出，证明里从没用到周围环境的形状。只要流动服从斯托克斯方程，往复泳者在墙边、在窄通道里，也都走不出原地。严格说来，定理要求问题里所有雷诺数都为零；惯性一旦进来，定理怎样失效，综述引了专门的研究。
划法打破往复对称，是能游的必要条件，却还不够。Lauga 和 Powers 举了一个反例：两个互为镜像的泳者头对头放着，合起来看动作是非往复的，可镜像对称让它们的质心哪儿也去不了。
最要紧的是流体本身。在高分子溶液里，应力还取决于流体片刻之前的变形，时间又回到了方程里。综述讲了一张在模型黏弹性流体（Oldroyd-B 流体）里的薄片：它用三分之一周期向右传波，再用三分之二周期向左传波。动作虽然往复，薄片却得到了净位移，因为它的速度不再随波的频率线性变化。一群泳者也能绕开定理：Lauga 和 Powers 指出，两个各自游不动的往复泳者，可以借助彼此之间的流体作用一起游起来。