Purcell 的两个答案
证明扇贝游不动之后，Purcell 在图 9 里给了两条出路。一支柔软的桨来回摆动，前半程往一边弯，后半程往另一边弯。回程经过的形状和去程不同，扇贝定理就管不着了。硬桨只会原路往返。
第二条出路是螺旋。让它一直朝同一方向转，运动从来不倒放，也就完全绕开了定理。Purcell 说过，这样的泳者往哪边走并不显然。他的图 10 画了大肠杆菌和它的鞭毛，菌体约两微米长。
横着拖，阻力是顺着拖的两倍
细杆在黏性流体里运动，受的阻力和运动方向有关。Lauga 和 Powers 把细杆看成一串小球，再把各个小球的点力流场加起来。按长径比对数的倒数取最低阶，横着走的一小段，单位长度阻力是顺着走的两倍。速度的两个分量各有自己的阻力系数。
有了这种各向异性，靠阻力产生推力才有可能。斜着走的一小段，受的阻力既不正对速度，也不正好横穿细杆，其中一部分沿细丝方向推。Lauga 和 Powers 证明，要得到净推力，各段的速度和取向都必须沿细丝变化，一列波正好两样都提供。
综述也把这套理论的局限说得很清楚。它按长度与半径之比的对数倒数展开，只有半径比长度小上指数级的细丝，结果才准确。细长体理论在这方面更进一步。
完整例题
行进波带来的游速
取一根长十微米、半径十纳米的细丝，这个半径与 Lauga 和 Powers 给出的细菌鞭毛半径相当。长度与半径之比的对数约为 6.9，在水里横向阻力系数是 1.82 毫帕秒，顺向是 0.91。
让一列小正弦波沿它传播：振幅半微米，波长十微米，每秒三十个波。波速是每秒 300 微米。Lauga 和 Powers 的方程 36 给出平均游速；阻力比取二、不带头部时，它化为波速的一半乘以波数与振幅乘积的平方。这里波数乘振幅是 0.314，细丝以每秒约 14.8 微米前进，方向和波的传播方向相反。
有两处值得细看。游速与振幅的平方成正比，波高加倍，游速变成四倍。头部会拖慢泳者：方程 36 要除以一加上头部阻力与细丝顺向阻力之比。半径一微米的球形头部，阻力约是这根细丝顺向阻力的两倍，游速因此降到原来的三分之一左右，约每秒 4.8 微米。
柔软的尾巴自己造出波
精子靠分布在整条尾巴上的分子马达驱动弯曲波。Machin 问了一个更简单的问题：只摆动一端会怎样？Lauga 和 Powers 让细丝的弹性弯曲力与横向阻力平衡，得到一个超扩散方程，即方程 48。方程里的时间导数打破了运动学可逆性。根部哪怕只是单纯地来回摆，也会有波沿细丝往下传，因为远处的部分总是落后于根部。
这些波的波长和衰减长度由一个穿透长度决定：弯曲刚度除以横向阻力与频率之积，再开四次方。摆得慢，细丝实际上是硬的，划法是往复的，泳者原地不动。摆得快，运动在很短距离内就消失了，大半条细丝只添阻力。Lauga 和 Powers 认为，穿透长度和细丝长度差不多时推进最好；两者之比叫作精子数。
转动也遵循同样的道理。一根直杆绕自身轴线转，产生的推力为零；Lauga 和 Powers 提到，鞭毛变直的突变大肠杆菌就游不起来。螺旋形状负责把转动变成推力，菌体则反向转动，让泳者所受的总力矩保持为零。
三颗小球用的是同一招
三球泳者绕开定理的方式，是同一招的缩小版。它的四步划水按固定顺序把形状变化从一条手臂传到另一条手臂，在形状空间里的圈也就圈住了面积。尾巴上的行进波用的是许多个自由度：每一小段都经过和邻段相同的形状，只是晚一点。
顺序一反，泳者也反过来走。实验的默认划法里，左臂先动，泳者向右走，也就是朝后动的那条手臂一侧前进。细丝则逆着自己的波游。Purcell 关于方向的提醒对两者都适用；对三颗小球来说，第五章里圈面积的正负号给出了答案。