镜像让墙面保持静止
在开阔流体里，点力的流动随距离衰减，碰不到任何东西。靠近墙时，同一股流会带着墙面上的流体滑动，无滑移条件不允许这样。Lauga 和 Powers 把补救办法称作镜像法，和静电学里的做法相似，难处在于无滑移条件要管住速度的每一个分量。
Blake 求出了平面墙旁点力的镜像系统。Daddi-Moussa-Ider 等人在方程 5 里引用了它：先写出实际间距下的自由空间流，减去墙后镜像点发出的自由空间流，再在镜像点上加一个力偶极项和一个源偶极项，权重由力离墙的高度决定。这门课没有读 Blake 的原文，下面的形式取自他们的方程 5。
完整例题
墙让一颗小球慢多少
把镜像流放回小球自身处求值，只保留半径与高度之比的最低阶。球心离墙一定高度的小球，沿墙运动时，迁移率比自由时少了这个比值的十六分之九；朝墙运动时少得更多，是这个比值的八分之九，正好两倍。
离墙十个半径时，沿墙迁移率是自由值的 0.944，垂直方向是 0.889。离墙五个半径时，分别是 0.889 和 0.775。离墙两个半径时，最低阶给出 0.719 和 0.438；靠得这样近，高阶项已经要紧，我们还没有拿这些数去和精确解比较。
垂直方向减得更多，是因为把小球下方缝隙里的流体挤出去，比让它沿缝隙滑动更费劲。对泳者来说，高度不同的小球，面对同样的力反应也不同。泳者一倾斜，两端就不在同一高度，各颗小球走得不一样快，墙就能让整个身体转起来。
墙边的三种路径
Daddi-Moussa-Ider 等人让两条手臂做简谐伸缩，相差四分之一周期，小球半径和两个振幅都取平均臂长的十分之一（方程 13 和 24）。远离墙时，泳者以他们方程 27 给出的速度前进，其中含有小球尺寸的一阶修正。靠近墙时，他们用多极展开法算迁移率，这种方法贴近墙面也算得准；他们还加了一个软排斥力，免得小球钻进墙里，并说明检查过适度改动排斥参数的情形。
结果分三种。出发时朝墙倾斜超过约 0.3 弧度，泳者会被困住：它弯着身子靠近墙，转到身体轴线垂直于墙，然后悬停在某个固定高度。从一个臂长的高度放出，它最后停在约 1.12 个臂长处。出发时背向墙倾斜超过约半个弧度，泳者就逃开了，像在开阔流体里一样直线前进。出发高度约一个臂长、姿态接近平行的一片区域里，它贴着墙滑行，高度和角度缓慢起伏。
作者指出，这种起伏比划水慢好几个数量级。他们图中画的是按划水周期平均后的位置和角度，读这些路径时，正该用这个尺度。
两篇论文对远场的分歧
离墙很远时，墙的影响衰减得多快？Zargar、Najafi 和 Miri 按臂长与高度之比展开，2009 年论文的摘要给出一个随高度平方反比下降的墙致四极力。Daddi-Moussa-Ider 等人重新算了这个问题，发现墙引起的平动速度随高度三次方反比下降，转动角速度随四次方反比下降，并说明早先的远场衰减报告有误。
读者可以用对称性检验这个分歧。Lauga 和 Powers 指出，带力偶极的泳者，不论推进型还是拉动型，墙引起的速度随高度平方反比下降。Golestanian 和 Ajdari 指出，三球泳者两条手臂平均长度相等时，力偶极相互抵消，远场的领头项是四极，比偶极多衰减一次方。Daddi-Moussa-Ider 等人研究的泳者正是这种对称的，按对称性推断，领头项应当随高度三次方反比下降。对称性检验支持他们的结果，具体系数要看他们论文第 IV 节的计算。
贴壁实验补上了什么
我们的计算：贴壁实验沿用 Daddi-Moussa-Ider 等人的泳者，小球半径一微米，臂长十微米，两臂相差四分之一周期。墙只保留远场部分，也就是小球之间的 Blake 镜像流，加上每颗小球自身迁移率的最低阶修正。泳者与墙平行时，每周期的转角随高度的四次方衰减；在十二倍臂长处，它和论文的远场公式（方程 28c）相差不到百分之一。
从十微米高处水平出发，模型泳者贴着墙滑行，高度在约六到十微米之间起伏。从二十微米出发，它反而转向墙，约 4800 个周期后到达模型的近壁极限。朝外倾斜 26 度出发，它逃离墙面；从 7.5 微米出发，它几乎在同一高度平稳滑行。只要有小球进入离墙两个半径以内，运行就停下。论文里的悬停状态要靠近壁迁移率和软排斥力，这个结局请以论文为准。