两个泳者靠得近时，划水的时间差决定它们怎样互相推拉

近处像泵，远处很弱

Pooley、Alexander 和 Yeomans 研究的三球泳者，前后两条手臂的划水幅度可以不同。按周期平均后，它的远场流动是一组点力奇异解的叠加。两个幅度相等时，把划水在时间上倒放、再把泳者前后对调，看起来和原来一样，论文称之为 TP 不变性。这时平均流场里的偶极部分消失，远场随距离三次方反比衰减，与 Golestanian 和 Ajdari 讨论的对称情形一致。

靠近泳者时，平均流场是另一番样子。中间小球附近的流体向后流：泳者像一台泵，把前方的流体送到身后，自己也就向前走了。论文的远场解析式和数值流场相比，在大约三个身长以外，误差在百分之十以内。

“死”项和“活”项

现在在旁边再放一个泳者，作者把两个泳者叫作 Alice 和 Bob。Bob 对 Alice 的影响分两部分。“死”项假定 Bob 只靠周期平均后的流场带着 Alice 走、让她转向，它只取决于 Bob 的流场，形式就是预期的偶极。它的大小正比于 Bob 前后两个幅度的乘积，再乘上两者之差，幅度相等时就消失。

“活”项来自两个泳者同时在动。Bob 的流场在 Alice 划水的某些时刻推她的小球；这些瞬时推动相乘，平均之后还留下一点余量。它的大小经由一个相位函数取决于两者划水的相对相位，论文在图 3 里画出了这个函数。方程 8 比较了两项，结论是“活”项占主导。

相位决定正负

幅度相等、相位相同时，图 4(a) 把 Bob 的出发位置分成四个区域：吸引、排斥、振荡和平行路径。除了上面那对互相吸引的泳者，互相排斥的那对各自转过约七度，大部分在三千个周期内完成。振荡区里，两个泳者相对摆动，一次摆动约一万个周期，上面还叠着一个缓慢的漂移。作者把振荡归于“活”项的转动部分，把漂移归于它的平动部分。

让两个泳者错开半个周期，“活”项就反号。图 4(b) 里，吸引区变成排斥区；振荡区变成一对对平行路径，路径相对游动方向略微倾斜，两个泳者沿着它们摆动，正好差半个周期。相差四分之一周期时，即图 4(c)，最低阶的“活”项为零。伙伴在前方和在后方，结果仍然不同，作者认为这说明起主导作用的依旧是“活”项。

幅度不等时，同相振荡就失去了完美的周期性。前臂幅度小一些，振荡越摆越大，最后两个泳者分道扬镳。前臂幅度大一些，振荡越摆越小，两者渐渐靠拢，作者据此推测，同相驱动的悬浮液可能自发排成链。他们也提醒，两个泳者相互吸引，还不足以断定更大的群体会聚集成团。

双泳者实验复现了什么

我们的计算：双泳者实验沿用上面这组尺寸，两个泳者共六颗小球，全部按点力耦合。两者并排相距五个臂长、划水同步，会互相转向，约 2700 个周期后相遇。划水幅度为三成臂长时，完整点力模型给出的每周期步长是 0.0824 微米，约为小圈估计的 1.6 倍。按这个步长，25 个臂长约需 3000 个周期，和实验里的数接近。论文为这些轨迹给的是小圈步长，五千这个数是怎样算出来的，我们还没有追查。

相差半个周期时，同一对泳者互相转开，和“活”项变号的预测一致。两者相距很远时，Alice（实验里叫甲）每周期转角随 Bob（实验里叫乙）所在方位而变。方位角从 Alice 的游动方向量起，转角随它变化的形状，与 Pooley 等人最低阶结果的角度形状相同。实验把两条曲线画在一起。

固定节拍与真正的同步

这篇论文里，每个泳者都踩着各自固定的节拍划水。计算展示的是某个给定相位会把轨迹变成什么样，相位本身始终不变。Pooley 等人指出，外部驱动的人工泳者可以严格保持同相，他们的预测因此可以检验；自主游动的生物，相位会随时间漂移，也许最后会锁定。

Lauga 和 Powers 的综述讨论了相位什么时候会锁定。Taylor 证明，波形相同的两张游动薄片，同相摆动时耗散最小。后来的模拟发现，波形固定的薄片会一直漂移，直到正好同相或正好反相，两种状态都稳定。真实鞭毛的波形会随邻居施加的力而改变，这种反馈有望带来完美的相位锁定。旋转的螺旋也类似：完全刚性的螺旋同步不起来，需要一定的柔性。研究同步的模型，就要让每一次划水都能随所受的力调整。