低雷诺数 · 泳者之间的相互作用

两个泳者：划水节奏决定相吸还是相斥

两个一模一样的微小泳者，为什么同步时靠拢、不同步时分开？ 每个泳者都在搅动周围的水，这种搅动每划一次就让旁边的泳者稍稍转向。转向是让两者靠拢还是分开，取决于两者划水的节奏怎样对齐。在这个模型里，并排且同步划水的两个泳者会转向彼此，大约 2700 个周期后相遇；节奏相差半个周期时，它们转向外侧、逐渐分开。

把两个三球泳者并排放置，选择它们划水的相位差：同步时越游越近，相差半个周期时互相推开。

乙的起点与节奏

摆放两个泳者

乙起步领先

\Delta x_0

0\,\mu\mathrm{m}

起始横向距离

\Delta z_0

50\,\mu\mathrm{m}

乙的划水领先

\varphi

0^{\circ}

在场景里拖动乙，选择他相对甲的起点。

延时

延时倍速

N

400\,\mathrm{cycles/s}

动画中每秒推进的划水周期数。臂的伸缩被放慢到每秒一次，方便看清两者是同步还是相差半个周期；这里真实的一个划水周期是 0.4 s。

泳者怎样计算

每个泳者的小球半径 1 µm，臂长 10 µm。两条臂先依次缩短 3 µm，再依次伸长，伸缩速度 30 µm/s，四个动作用时相同。乙的划水可以领先甲 45° 的整数倍。

先在时间上精确积分两个泳者的一个划水周期（四阶龙格—库塔，16 步，每个动作都从步点开始），再把两者位置和朝向的净变化以最多 25 个周期为一步积分几千个周期。

模型假设

两个泳者在无边界水中的同一平面内运动。六个小球都按点力处理，用 Oseen 张量耦合；每个泳者对水的净力和净力矩都为零。不同泳者的小球靠近到几个半径以内时模型失效，运行就此停止。位置每个划水周期记录一次，累积几千个周期。这里没有热噪声；真实泳者的节奏会被热噪声打乱，而这里两者的划水始终严格对齐。

横向距离

47.4\,\mu\mathrm{m}

甲的朝向

2.03^{\circ}

乙的朝向

-2.03^{\circ}

已划水周期数

900

粉色是甲，蓝色是乙。右图：乙在相距 10 倍臂长的各方位时甲的转角，对照 Pooley 等人最低阶结果的角度形状，在 90° 处对齐。

更多数值与原始记录

按每周期 0.4 s 计的游动时间 $360\,\mathrm{s}$

两者平均前进距离 $74.1\,\mu\mathrm{m}$

两泳者小球的最近距离 $46.7\,\mu\mathrm{m}$

JSON 记录包含模型版本、单位、几何参数、每次起点或参数改动、两条采样轨迹，以及方位检验的数值。

泳者、划水方式和起始摆放取自 Pooley、Alexander 与 Yeomans（2007）。阅读 2007 年论文

物理教程

泳者之间的作用取决于划水的时机

背景低雷诺数下的泳者把周围的水搅动起来，但从远处看平均流动很弱。即便如此，靠得近的两个泳者仍会互相引导，只是要几千个划水周期才看得出来。

为什么值得理解Pooley、Alexander 与 Yeomans 跟踪了两个相同的三球泳者，发现它们相互吸引、排斥还是来回摆动，不仅取决于相对位置，还取决于两者划水的相位差。最大的效应来自两个泳者同时在动的那一刻。

先抓重点

核心问题: 两个一模一样的微小泳者，划水同步时互相靠拢，相差半个周期时却彼此推开，为什么？
一句话直觉: 每次划水都会让旁边的泳者转一个很小的角度，这个角度取决于对方的方位和两者划水如何对齐。并排同步时，转向让两者彼此对准；把一方的划水推迟半个周期，转向就让它们彼此背离。

核心数学模型

每个小球都感受其他所有小球的流动

\mathbf{v}_i=\frac{\mathbf{f}_i}{6\pi\eta a}+\sum_{j\ne i}\frac{1}{8\pi\eta\,r_{ij}}\left(\mathbf{I}+\hat{\mathbf{r}}_{ij}\hat{\mathbf{r}}_{ij}\right)\cdot\mathbf{f}_j

六个小球，每个都受自身的力推动，同时被另外五个球的 Oseen 流动带着走。每个泳者三个力之和为零，力矩之和也为零，所以泳者只能随对方的流动转动和平移。

平行泳者每周期的转角

\Delta\theta_{A}\propto\Phi(\varphi)\,\frac{aD\xi^{2}}{r^{4}}\,\sin\alpha\left(3-30\cos^{2}\alpha+35\cos^{4}\alpha\right)

Pooley 等人给出了两条臂振幅都为 ξ、臂长 D、相距 r、方位角 α 的平行泳者的最低阶结果。相位因子 Φ 在同步和相差半周期时符号相反。角度因子在约 31° 和 70° 处为零；下方图表把它和完整模型并排比较。

常见难点

不只是平均流动

容易误解每个泳者只感受到对方平均留下的流动。

正确理解把一个周期平均下来，这样的泳者只留下随距离三次方衰减的微弱流动。转向来自两个泳者同时在动的那一刻，所以只要把一方的划水在时间上错开，就能让转向反过来。

这个模型没算什么

容易误解真实的泳者也会像这样把划水节奏锁在一起。

正确理解两个泳者在无边界水中的同一平面内运动。六个小球都按点力处理，用 Oseen 张量耦合；每个泳者对水的净力和净力矩都为零。不同泳者的小球靠近到几个半径以内时模型失效，运行就此停止。位置每个划水周期记录一次，累积几千个周期。这里没有热噪声；真实泳者的节奏会被热噪声打乱，而这里两者的划水始终严格对齐。

动手实验

01
并排同步
从“同步并排：越游越近”开始，盯住两个泳者的前端。
你会看到： 两个前端彼此倾斜，最后约 19°，横向距离在约 2700 个周期内缩小，直到小球靠得太近、超出模型适用范围。
02
把一方推迟半个周期
选“反相并排：越游越远”，或把乙的划水领先设为 180°。
你会看到： 同样的两个泳者、同样的位置，现在彼此转开约 4°，逐渐分离。场景中两者的臂相差半个周期运动。
03
让乙在前
选“同步一前一后：来回摆动”，或把乙拖到甲前方。
你会看到： 乙在甲的游动线两侧来回摆动，周期约 9000 个划水周期，横向距离图是一条重复的波。

两个泳者：划水节奏决定相吸还是相斥

泳者之间的作用取决于划水的时机

核心数学模型

每个小球都感受其他所有小球的流动

平行泳者每周期的转角

常见难点

不只是平均流动

这个模型没算什么

动手实验

并排同步

把一方推迟半个周期

让乙在前

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