电磁学 · 电势与力

电场与电势

怎样从电势的形状，看出电荷受到的力？ 看电势往哪边降得最陡：电场就指向那边，正电荷也被推向那边。坡越陡，电场越强。电势为零的地方，照样可能有很强的电场。

摆出一个偶极子或四极子，让探针穿过高低起伏的电势地形，沿平面扫描电场，看看电场方向怎样顺着电势下坡。

探针电势 $\text{—}$

探针场强 $\text{—}$

水平场分量 $\text{—}$

竖直场分量 $\text{—}$

源净电荷 $\text{—}$

闭合环路积分 $\text{—}$

模型用归一化、经过软化的库仑定律。高度画的是电势，不是真实的表面。流动的光点只标出场线方向，不是受力运动的粒子。可以用扫描数据和环路积分检验电场。

扫描线通过探针的竖直位置。场强与电势使用同一个软化核。圆点由采样电势的负斜率计算，提供独立的数值检验。

\mathbf E=-\nabla V,\qquad \oint\mathbf E\cdot\mathrm d\boldsymbol\ell=0

高度与颜色是电势的可视化，不是物理表面。流动光点只演示场线方向，琥珀黄矩形定义环路积分的路径。坐标、电荷、电势及场强采用归一化单位，源软化半径为 0.1。

先抓重点

V(\mathbf r)=\sum_i\frac{q_i}{\sqrt{|\mathbf r-\mathbf r_i|^2+a^2}},\quad a=0.1

画面上的平面是三维场的一个截面。软化让电荷中心处的电势保持有限；场强取同一个电势的负梯度。

V(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i\frac{q_i}{|\mathbf r-\mathbf r_i|}

正电荷抬高电势，负电荷压低电势。每个电荷的贡献都是标量，直接相加即可。

\mathbf E=-\nabla V

梯度指向电势上升最快的方向；加上负号，电场就指向电势下降的方向。

容易误解这一点 $V=0$ ，放在这里的测试电荷就不受力。

正确理解电势的数值取决于把哪里定为零点；受力看的是附近电势变化有多快，也就是梯度。

容易误解释放电荷后，它一定沿一条场线运动。

正确理解场线只告诉你电荷此刻受力的方向。电荷有惯性，速度不一定一直和电场平行。

沿电场做一次扫描