E01 · 电子显微 / 基础

电子波长与加速电压

更高的加速电压是否总是更好？ 不是越高越好。电压越高，波长越短，分辨率越好；可电子也撞得更狠，传给原子的能量一旦超过敲出阈值，就会把原子撞离原位。最好选阈值以下最高的电压，同时还要有足够多电子不经散射穿过样品。

调节加速电压，比较经典波长和相对论波长。同时看电子在碳薄膜里怎样散射，以及一个电子最多能把多少能量交给碳原子。目标是找到尽可能短的波长：最大转移能量仍低于所选的敲出阈值，并且至少 40% 的电子不散射，直接穿过薄膜。

所选模型波长 $0\,\mathrm{pm}$

未散射比例（示意） $0\,\mathrm{\%}$

传给碳原子的最大能量 $0\,\mathrm{eV}$

收集占入射比例 $0\,\mathrm{\%}$

更多测量与实验目标

经典波长 $0\,\mathrm{pm}$

速度相对光速比例 $0$

理想衍射尺度 $0\,\mathrm{nm}$

前向核尺度（假设） $0\,\mathrm{mrad}$

敲出阈值比较 $\text{—}$

收集半角 $0\,\mathrm{mrad}$

收集散射占入射比例 $0\,\mathrm{\%}$

未收集占入射比例 $0\,\mathrm{\%}$

未散射占收集比例 $0\,\mathrm{\%}$

实验任务 $\text{—}$

预设为模拟示例；各图标题注明数据来源。

相对论模型对比经典波长和所选模型给出的波长。加速电压

V

80\,\mathrm{kV}

会聚半角

\alpha

10\,\mathrm{mrad}

碳薄膜厚度

t

50\,\mathrm{nm}

进阶设置

薄膜至收集面距离

L

200\,\mathrm{mm}

假定原子位移阈值

E_{\mathrm d}

22\,\mathrm{eV}

学习目标与模型边界

仪器设置

电子波长与加速电压

散射模型假设电子沿轴线以细束入射。会聚角只影响单独给出的理想衍射尺度。收集面半径固定为 5 mm。密度颜色采用固定的对数色标，显示的是期望值，不含采集噪声。

让转移能量低于假定阈值，但不少于阈值的 85%；未散射比例至少 40%。然后点击“核对目标”。

模型假设

自由电子运动学按精确的相对论关系计算；最大能量转移把碳-12 原子核按重核近似处理。衰减规律和归一化的前向角分布都是教学假设，没有用实测截面，也不模拟背散射、吸收或 Monte Carlo 输运。衍射读数是理想圆形光阑给出的尺度。转移能量低于敲出阈值，样品仍可能发生辐解、充电或受热。

物理教程

更高的加速电压是否总是更好？

背景调节加速电压，比较经典波长和相对论波长。同时看电子在碳薄膜里怎样散射，以及一个电子最多能把多少能量交给碳原子。目标是找到尽可能短的波长：最大转移能量仍低于所选的敲出阈值，并且至少 40% 的电子不散射，直接穿过薄膜。

为什么值得理解读懂一张电子显微图像之前，先要知道电子源、透镜光学柱和样品本身各自限制了什么。

先抓重点

核心问题: 加速电压是不是越高越好？
一句话直觉: 波长短和样品保得住是两个独立的要求。低于敲出阈值，只能排除敲出事件，排除不了其他损伤。

核心数学模型

相对论波长

\lambda=\frac{h}{\sqrt{2m_e eV\left(1+\frac{eV}{2m_e c^2}\right)}}

物质波波长由动量决定，不能用经典速度估计替代。

理想衍射尺度

d_{\mathrm{diff}}=0.61\lambda/\alpha

这个尺度不考虑源尺寸、像差、剂量和探测器采样。

重核能量转移

\begin{gathered}T_{\max}\simeq\frac{2K(K+2m_ec^2)}{Mc^2}\\K=eV\end{gathered}

靶核固定为碳-12。阈值可以调，它是一个假设，并不是所有碳材料共有的性质。

薄膜中的未散射比例

\begin{gathered}P_0=\exp(-t/\ell)\\\ell=80\,\mathrm{nm}\left(\frac{V}{100\,\mathrm{kV}}\right)^{0.65}\end{gathered}

衰减长度及其随电压的变化是为教学比较选定的，不是经过标定的截面模型。

前向散射角分布

\begin{gathered}f(\theta)=\frac{\kappa e^{\kappa(\cos\theta-1)}}{2\pi(1-e^{-\kappa})}\\0\leq\theta\leq\pi/2,\quad\kappa=s^{-2}\end{gathered}

这是人为选定的每球面度概率密度，绕束轴对称，在前半球上归一化。尺度参数以弧度计，只有角度很小时才近似等于横向高斯宽度。它不是碳的散射截面。

到达收集面的概率

\begin{gathered}\beta=\arctan(R/L)\\C=P_0+(1-P_0)F(\beta)\\F(\beta)=2\pi\int_0^\beta f(\theta)\sin\theta\,d\theta\end{gathered}

未散射电子沿轴线前进，全部落在居中的理想圆盘上。圆盘也会接到一部分散射电子，所以收集到的电子里未散射的占比，并不等于入射束中未散射的比例。

常见难点

低于阈值也有损伤

容易误解低于敲出阈值的束流不会损伤样品。

正确理解辐解、加热、污染和充电仍会损伤样品，描述它们需要另外的材料模型和剂量模型。

有限探测器收集了什么

容易误解有限探测器收集比例就是从未散射的比例。

正确理解有限探测器也会接到一部分散射电子。图中心的小点代表未散射电子，它窄到无法分辨；周围按固定对数色标画出的密度不包括这一点。这里不模拟噪声、探测效率或实测计数。

动手实验

01
预测电压的影响
先预测从 80 kV 升到 300 kV 时，波长和能量转移怎样变化，再比较两个场景。
你会看到： 波长变短，最大转移能量变大。
02
逼近敲出阈值
让转移能量低于假定阈值，但不少于阈值的 85%；未散射比例至少 40%。然后点击“核对目标”。
你会看到： 这个任务要在样品的两条限制内追求更短的波长：一条限制能量转移，一条限制未散射比例。
03
检验经典近似
在高电压下关掉相对论模型，再加厚薄膜。
你会看到： 经典波长比相对论值长。薄膜越厚，未散射的电子越少。
04
移动收集面
把收集面移远，比较收集概率、漏收概率和收集到的电子中未散射的占比，再改变会聚半角。
你会看到： 收集概率下降，波长、薄膜衰减和敲出阈值比较都不变。会聚角只改变单独给出的理想衍射尺度。