电磁学 · 受力与能量

带电粒子的电磁运动

向均匀电磁场发射粒子，回放记录轨迹、反转电荷，并用同一次飞行的数据比较动能与电场做功。

记录速度 $\text{—}$

瞬时磁弯曲半径 $\text{—}$

回旋角频率 $\text{—}$

动能 $\text{—}$

电场做功 $\text{—}$

能量平衡残差 $\text{—}$

一次飞行，一份冻结记录。

射入均匀电磁场

记录轨迹只绘制回放时钟已到达的样本。速度与力箭长经压缩以便观察。均匀场方向磁场箭头指向飞行平面的法向。电荷

q

1\,\mathrm{C}

质量

m

1\,\mathrm{kg}

法向磁场

B_z

2\,\mathrm{T}

水平电场

E_x

0\,\mathrm{V\,m^{-1}}

竖直电场

E_y

0\,\mathrm{V\,m^{-1}}

发射速度

v_0

14\,\mathrm{m\,s^{-1}}

从水平正方向起的发射角

\alpha

0^\circ

记录时长

T

6\,\mathrm{s}

滑块设置下一次发射。回放与拖动时间轴保留原记录。采用 SI 单位、非相对论试探粒子及无限均匀场；忽略辐射、碰撞与反作用。场景按完整飞行缩放，不会把飞出范围的粒子重置。

采用 SI 单位的非相对论教学粒子。电磁场预先规定且均匀，忽略碰撞、辐射及反作用。水平、竖直正方向与法向磁场组成右手坐标系。相机尺度按完整飞行轨迹调整。

记录时间

0.00\,\mathrm{s}

两张图都使用冻结的飞行记录。电场做功根据位移计算，与速度更新独立。残差反映数值误差，包括位置积分误差。

\Delta K=W_E,\qquad W_E=q\,\mathbf E\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)

边框是显示坐标框，不是电极或腔体壁。位置尺度按整条记录轨迹调整；粒子尺寸及矢量长度经过放大。正法向磁场遵循右手坐标约定。

探索电势地形 →MIT：静电学与电势 Boris 积分与守恒

先抓重点

核心问题: 为什么纯磁场能把路径弯成圆，却不能让粒子越跑越快？
一句话直觉: 磁力始终垂直于速度，所以不做功；电场才直接改变动能。

核心数学模型

能量收支检验

K(t)-K(0)=q\,\mathbf E\cdot[\mathbf r(t)-\mathbf r(0)]

均匀电场的做功从位移计算；与记录速度给出的动能变化比较。磁场不做功。

Lorentz 力

\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)

叉积同时决定磁力大小与方向，电荷符号会反转总受力。

回旋与漂移尺度

r_c=\frac{mv_\perp}{|q|B},\qquad\mathbf v_D=\frac{\mathbf E\times\mathbf B}{B^2}

质量和垂直速度增大使轨道变大； $\mathbf E\times\mathbf B$ 漂移与质量、电荷符号无关。

常见难点

磁场不提高速率

容易误解只要粒子持续受力，速率就一定增加。

正确理解垂直力只旋转速度向量；功率 $q(\mathbf v\times\mathbf B)\cdot\mathbf v$ 恒为零。

负电荷要反转右手定则结果

容易误解 $\mathbf v\times\mathbf B$ 直接就是所有粒子的受力方向。

正确理解 $\mathbf v\times\mathbf B$ 给出正电荷方向； $q<0$ 时方向完全反转。

动手实验

01
建立纯回旋
选择“纯磁场圆周”，拖动记录时间轴。
应该观察到： 速率稳定，路径弯曲成圆。
02
反转符号
点击“反转电荷并发射”，比较记录轨迹。
应该观察到： 回旋方向反转，半径近似不变。
03
加入正交电场
选择 $\mathbf E\times\mathbf B$ 漂移并改变 $E/B$ 。
应该观察到： 圆周中心出现稳定横向平移。

带电粒子的电磁运动

核对能量收支

带电粒子：电场改变能量，磁场改变方向