纸面上的泳者
Najafi 和 Golestanian 在 2004 年提出这个泳者：三颗等大的小球排在一条直线上，用两条可以伸缩的手臂相连。手臂当作细杆，不受阻力。论文把中间那颗叫 1 号球，两端叫 2 号和 3 号；这门课从左到右编为 1、2、3 号，中间那颗是 2 号。
他们的划法分四步：缩左臂，缩右臂，伸左臂，伸右臂。在两臂长度构成的平面上，每个周期画出一个正方形。手臂长十微米、划水幅度四微米时，每条手臂在十微米和六微米之间变化。
直线上的位置从左往右计。泳者的位置取三颗小球的质心。一整圈下来，每颗小球的净位移都相同，所以参考点选哪里，只影响周期内部的运动，不影响每周期走的距离。
三个力，三个方程
每颗小球都用某个力推着流体。它的速度等于这个力乘以自身的斯托克斯迁移率，再加上另外两颗小球在它球心处造成的流速。小球相距比自身大得多时，这股流就是第二章沿力方向的点力流，随间距的倒数衰减。Golestanian 和 Ajdari 把它写成方程 1 到 3，Najafi 和 Golestanian 的方程 6 也是同样的形式。
还差两个条件。没有外力推泳者，三个力之和为零；手臂伸缩速率是规定好的，相邻小球的速度差已知。三个未知力，三个线性方程。把力变成速度的那个矩阵叫迁移率矩阵。它是对称的；小球相距足够远时，它还是正定的，耗散功率因此总为正。
小球靠得太近，点力形式就不成立了。两颗球的间距小于一个半半径时，矩阵不再正定，模型会凭空造出能量。实验于是把每条手臂限制在至少三个半径长。
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解出第一步开头的一瞬间
取第一步刚开始的时刻：两条手臂都是十微米，左臂以每秒三十微米缩短，右臂不动。小球半径一微米，在水里。
解三个方程，得到三颗小球的速度分别是每秒正 19.70、负 10.30、负 10.30 微米。右臂不动，中间和右边两颗球就一起走；左边那颗以每秒三十微米向它们靠拢。小球对流体的力约为正 420、负 228、负 191 飞牛，在舍入误差内加起来为零。
质心速度是三者的平均，每秒负 0.303 微米。现在把小球之间的耦合关掉，再解一次。每个力只剩自身小球的阻力，合力为零的条件让三个速度之和为零，结果是正 20、负 10、负 10，质心一动不动。对等大的小球来说，游动完全来自每颗小球在其他小球处造成的流动。
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从一瞬间到一整圈
每一刻都这样解一次，再积分。四步里，中间小球的位移依次是负 1.353、正 1.439、正 1.439、负 1.353 微米。质心的各步更小，也不对称：负 0.020、正 0.106、正 0.106、负 0.020。两组数加起来都是向右 0.172 微米，因为一圈下来每颗小球的净位移相同。
前进和后退不相等，是因为耦合强弱取决于每一步发生时两条手臂有多长。第一步和第四步里，不动的那条手臂长十微米；第二步和第三步里只有六微米。一圈用时 0.533 秒，平均速度每秒 0.323 微米，每圈耗散 6.93 阿焦。
哪些量会缩放，哪些量会消掉
黏度把迁移率矩阵的每一项乘上同一个因子，于是从速度里消掉。手臂伸缩速率以线性方式出现，快慢也就从距离里消掉，第三章已经讲过。数值基准把两点都验证了：改变黏度，每周期距离在舍入误差内不变；半径、手臂和划水幅度一起放大 2.5 倍，距离也正好放大 2.5 倍。
能量的规律不一样。耗散功率等于力乘速度，两者都随伸缩快慢增大，每周期能量就与伸缩速度和黏度成正比。手臂伸缩速度从每秒十微米提到四十微米，走同样的距离，要花四倍的能量。