低雷诺数 · 把划水画成闭合路径

三球泳者：原路往返为什么游不动

微小泳者把同一个动作来回重复，为什么到不了任何地方？ 在这么小的尺度上，水几乎瞬间就能让身体停下，臂长一确定，位移就确定了。把动作倒着做一遍，每一步都会被抵消，做得多快都一样。两条臂错开节奏、走出一个闭合圈，泳者才会前进；小圈前进的距离与圈住的面积成正比。

在水里驱动三球泳者的两条臂。比较原路往返和大小、方向不同的闭合划法，测出每个周期身体前进多远。

两条臂，一个闭合路径

选一种划法

小球半径

a

1\,\mu\mathrm{m}

划水幅度

s

1\times

伸缩速度

W

30\,\mu\mathrm{m/s}

沿轴线拖动两端的小球，可以亲手划水；也可以拖动舞台下方闭合圈的角。

流体

流体黏度

\eta

1\,\mathrm{mPa\,s}

黏度会按比例改变所有力和每周期耗能；路径、每周期距离和周期都不变。

泳者怎样计算

同一直线上三个等大小球施加的力相加为零。每个球的速度来自自身阻力，加上另两个球的点力流场：

v_i=\frac{f_i}{6\pi\eta a}+\sum_{j\ne i}\frac{f_j}{4\pi\eta\,|x_i-x_j|}

身体位置取三球的质心。每周期距离沿闭合圈的每段直线用八点高斯—勒让德求积计算。

模型假设

三个等大小球排成一条直线，处在无边界的水中，用点力（Oseen）近似计算它们之间的流体耦合；泳者不受净外力。模型要求球半径远小于臂长，所以臂长不短于三个半径。这里没有布朗运动：一个周期内，1 µm 小球的热扩散比它游过的距离还远，真实的这么小的泳者要积累很多周期才看得出漂移。示踪粒子用同一个点力流场，离球面一个半径以内只作定性参考。

每周期前进距离

0.172\,\mu\mathrm{m}

圈住的面积（带方向）

16\,\mu\mathrm{m}^2

小圈面积律估计

0.146\,\mu\mathrm{m}

每周期耗散能量

6.93\,\mathrm{aJ}

粉色代表身体：圈上的当前形状，和随时间变化的位置。背景越亮，每单位圈住面积换来的距离越多；虚线是整周期平均漂移。

更多数值与原始记录

周期 $0.533\,\mathrm{s}$

平均游速 $0.323\,\mu\mathrm{m/s}$

雷诺数 $3\times10^{-4}$

有限尺寸修正（Rotne–Prager 减点力） $-0.00707\,\mu\mathrm{m}$

JSON 记录包含模型版本、单位、闭合圈顶点、示踪点随机种子、每次参数改动和采样的质心位置。

泳者与四步划法取自 Najafi 与 Golestanian（2004）；面积律是 Golestanian 与 Ajdari（2008）的式 13。阅读 2004 年论文 · 阅读 2008 年论文

先抓重点

核心问题: 微小泳者把同一个动作来回重复，为什么到不了任何地方？
一句话直觉: 原路返回的路径，会把身体带回起点。闭合圈会留下净位移，大小由圈住的区域决定；小圈的净位移等于面积乘一个由球半径和臂长决定的系数。

核心数学模型

没有惯性时的力平衡

v_i=\sum_j M_{ij}f_j,\qquad M_{ii}=\frac{1}{6\pi\eta a},\quad M_{ij}=\frac{1}{4\pi\eta\,|x_i-x_j|},\qquad \sum_i f_i=0

每个球的速度来自自身受力的斯托克斯阻力，加上另外两个球推动的流动。泳者对水的总推力为零。给定两臂伸缩速度，这三个方程就定下了三个球的速度。

位移是形状空间里的线积分

\Delta X=\oint\left(A_1\,dL_1+A_2\,dL_2\right)=\iint\left(\frac{\partial A_2}{\partial L_1}-\frac{\partial A_1}{\partial L_2}\right)dL_1\,dL_2

式中已经没有时间：只有路径要紧，所以改变伸缩速度只改变周期，不改变每周期的距离。不圈住面积的路径给出零。形状面板的背景颜色画的就是被积函数。

小圈的面积律

\Delta X\approx K\,\mathcal{A},\qquad K=\frac{a}{3}\left[\frac{1}{\ell_1^{2}}+\frac{1}{\ell_2^{2}}-\frac{1}{(\ell_1+\ell_2)^{2}}\right]

Golestanian 与 Ajdari 对等大小球、远小于臂长的小圈给出了这个系数，只保留到半径与臂长之比的最低阶。读数把它和完整模型并排比较；圈越大、球越大，差距越明显。

常见难点

快不等于远

容易误解去程用力大、回程用力小，泳者总该往前漂一点。

正确理解没有惯性时，每一刻的力和速度成正比。快速完成同一条形状路径，只是用时更短，身体移动的量完全一样。要紧的只是形状经过的顺序。

这个模型没算什么

容易误解画面上的距离就是真实微米泳者每个周期会走的距离。

正确理解三个等大小球排成一条直线，处在无边界的水中，用点力（Oseen）近似计算它们之间的流体耦合；泳者不受净外力。模型要求球半径远小于臂长，所以臂长不短于三个半径。这里没有布朗运动：一个周期内，1 µm 小球的热扩散比它游过的距离还远，真实的这么小的泳者要积累很多周期才看得出漂移。示踪粒子用同一个点力流场，离球面一个半径以内只作定性参考。

动手实验

01
把动作倒着做
选“原路往返，原地不动”，盯住小球旁边的一个示踪点看几个周期。
你会看到： 示踪点和身体都沿原路来回，位置曲线围着一条水平线振荡，每周期距离读数为零。
02
把闭合圈反过来
比较“四步划水，向前游”和“倒着画圈，倒着游”。再在形状面板里拖动闭合圈的一个角。
你会看到： 同一个圈反着走，距离大小相同、方向相反。把圈往短臂一侧、也就是更亮的区域扩，距离增加得最多。
03
划快一点或慢一点
先改“伸缩速度”，再改“划水幅度”。最后在场景里来回拖动右边的小球，自己画一种划法。
你会看到： 伸缩速度改变周期和每周期耗能，不改变每周期距离。划水幅度较小时，距离大约随幅度的平方变化。只动一条臂，路径是一条线段，走不了。

三球泳者：原路往返为什么游不动

前进靠闭合路径，不靠快

核心数学模型

没有惯性时的力平衡

位移是形状空间里的线积分

小圈的面积律

常见难点

快不等于远

这个模型没算什么

动手实验

把动作倒着做

把闭合圈反过来

划快一点或慢一点

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